文档内容
第十二章 全等三角形
12．3 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．
2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．
重点：能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．
难点：通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．
自主学习
一、知识链接
1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？
2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠ =∠ ．过点D作DE⊥BC，垂足
为E，则图中线段 的长度表示点D到BC的距离．
二、新知预习
1．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．
PD PE
[来源:学科网]
第一次
第二次
第三次
[来源:学，科，网Z，X，X，K]
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂
足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小
关系，写出结论 ．
2．下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则PD＝PE的是（ ）
A B C D
3．猜想：
角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的 相等．三、我的疑惑
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
课堂探究
一、要点探究
探究点1：尺规作角平分线
问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系．
提示：
（1）已知什么？求作什么？
（2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎
样在作图中体现这个过程呢?
（3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握．
针对训练
已知：平角∠AOB．
求作：平角∠AOB的角平分线．
B O A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法．探究点2：角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．
1． 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为
垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
已知：如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD=PE．
方法归纳：
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1．明确命题中的已知和求证；
2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
知识要点：
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
应用所具备的条件：
（1）点在该平分线上；（2）到角两边的距离(垂直).
定理的作用： 证明线段相等．
应用格式：
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE．
判一判：
（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
（2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知），
∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别为E，F．
求证：EB=FC．
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、
E，PD=4 cm，则PE=______cm．
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝
m，AB=14．
（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；
（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；
（3）求△PDB的周长．
二、课堂小结
尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点；
角 平分线
性质定理 二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段(距离)相等添加辅助线 过角平分线上一点向两边作垂线段
当堂检测
1．如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF=
度，BE= ．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是
．
3．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据
是（ ）
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S ＝7，DE＝2，AB＝4，则
△ABC
AC的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
（1）哪条线段与DE相等？为什么？
（2）若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长．
6．如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求
AD与BC之间的距离．
7．如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．
求证：CE＝CF．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2．ABD CBD DE
二、新知预习
1．PD=PE 2．D 3．距离
三、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：尺规作角平分线
问题 能
做一做
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点M，交
OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
针对训练
解：如图．
探究点2：角平分线的性质
验证猜想 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．
在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE．
判一判 （1）× （2）×
典例精析
例1 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90
°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴EB=FC．
例2 4变式 解：（1）m
（2）由角平分线的性质，可知，PD=PC=m， ．
（3）由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD．
∴C =PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14．
△PDB
当堂检测
1．60 BF 2．3 3．A
4．D 解析：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，
∴ ，解得AC＝3．
5．解：（1）DC=DE．理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD．
在△CDB和△EDB中，
∴△CDB≌△EDB(AAS).
∴BE＝BC=8．∴ AE＝AB-BE=2．
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8．
6．解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．
∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离．
∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴PM= PE．
同理，PN= PE．∴ PM= PN= PE=3．∴ MN=6．即AD与BC之间的距离为6．
7．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF．
在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF．
