文档内容
12.4全等三角形的九大模型
题型1：平移全等模型
1.如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【变式1-1】如图，A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，AD＝CF，AB＝
DE，BC＝EF，求证：∠B＝∠E．
【变式1-2】如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，BE＝CF．试说明AC∥DF．
【变式1-3】如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．
请判断∠C与∠F是否相等？并说明你的理由．题型2：对称全等模型
2.如图，已知AD＝AB，AC＝AE，求证：∠B＝∠D．
【变式2-1】如图，F、B、E、C四点共线，AB与DE相交于点O，AO＝DO，OB＝
OE，BF＝CE，求证：∠D＝∠A．
【变式2-2】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若PO平分∠EPF，则PO与线段BC有什么关系？为什么？
【变式2-3】如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B．求证：∠E＝∠D．
题型3：旋转全等模型
3.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，且 AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC．求证：AD平分∠BDE．
【变式3-1】如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在
同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（ ）
A．50° B．65° C．70° D．75°
【变式3-2】在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠ADE；
（2）如图②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，点C在线段BE上，则∠D＝ 30
度．
题型4：K字模型（一线三垂直/等角）
4.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点
D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；（2）DE＝AD+BE．
【变式4-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于
D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA
＝∠AEC＝∠BAC＝ ，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
α
【变式4-3】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分
别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F．
（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF．
（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证
明．
（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论．
题型5：倍长中线模型
5.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是
（ ）
A．3＜AD＜13 B．1.5＜AD＜6.5 C．2.5＜AD＜7.5 D．10＜AD＜16
【变式5-1】已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
【变式5-2】
题型6：手拉手模型
6.如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝
∠BAE，EF与AC交于点G．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若∠B＝62°，∠C＝24°，求∠EAC的度数．
【变式6-1】如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线
于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．【变式6-2】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，
连接AD，BE相交于点P．
（1）求证：BE＝AD．
（2）求∠APB的度数．
【变式6-3】如图，已知△ABC与△DEC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）试说明：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝6，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
题型7：截长补短模型
7.如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，
BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是
BC，CD上的
点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．【变式7-2】如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD
至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．
【变式7-3】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边
BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．
题型8：平行线+中点模型
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．
（1）求证：S△CED ＝S△ADE +S△BCE ．
（2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．
【变式 8-1】如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 CD 的中点，AE 平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：AD+BC＝AB；
（3）若S△ABE ＝4，求梯形ABCD的面积．
【变式8-2】如图，点E在△ABC的CB边的延长线上，D点在AC边上，DE交AB于点
F，DF＝EF，AD＝BE，求证：△ABC是等腰三角形．
【变式8-3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC
＝DC．
题型9：角平分线+垂直模型
9.已知，如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，
∠BDC＝90°，求证：CE＝2BD．
【变式9-1】如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【变式9-2】已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）在图2中，∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然
成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图2中，∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝ AC（直
接写出答案）．
【变式9-3】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是
AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四边形AEDF的面积．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
