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2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
12.3 角的平分线的性质
题型导航
角 题型1
角平分线的性质定理
的
平 题型2
角平分线的判定定理
分
线
题型3
角平分线性质的实际应用
的
性
题型4
作角平分线（尺规作图）
质
题型变式
【题型1】角平分线的性质定理
1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列
结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．OC＝OP D．∠CPO＝∠DPO
【答案】C【分析】根据角平分线的性质，可证明△ODP≌△OCP，进而可判断出错误选项．
【详解】解：∵OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠DOP=∠COP，且OP=OP，故A正确，
∴△ODP≌△OCP（HL），
∴OD=OC，∠CPO＝∠DPO，故B，D正确，
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，
点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 ______．
【答案】6
【分析】过P点作PH⊥OA，如图，由角平分线的性质得到PH＝PM＝6，再由点到直线的距离垂线段最短
即可得到PN的最小值为6．
【详解】解：过P点作PH⊥OA，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA，
∴PH＝PM＝6，
∵点N是射线OA上的一个动点，
∴PN的最小值为6．
故答案为6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解
题的关键．【题型2】角平分线的判定定理
1．（2021·陕西榆林·八年级期末）如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3， ，D为AC上一点，
连接BD，若 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
【答案】B
【分析】根据题意可判断出△BCD中BC边上的高和△ABD中AB边上的高相等，再根据角平分线的判定
可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠ABD的度数．
【详解】解：设△BCD中BC边上的高为：h，△ABD中AB边上的高为：h，
1 2
∵BC=1，AB=3，S BCD：S ABD=1：3，
△ △
∴h=h，
1 2
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD= =35°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形面积和角平分线的判定，解题关键是根据题意可判断出△BCD中BC边上的
高和△ABD中AB边上的高的关系．
【变式2-1】
2．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在 中，O是 内一点，且点O到 三边的距离相
等， ，则 的度数为____________．【答案】 ##88度
【分析】由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，利用三角形内角和即可求得∠A．
【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A＝180°−（∠ABC+∠ACB）
＝180°−2（∠OBC+∠OCB）
＝180°−2×（180°−∠BOC）
＝180°−2×（180°−134°）
＝88°
故答案为：88°．
【点睛】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是
解题的关键．
【题型3】角平分线性质的实际应用
1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三
条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相
等，则度假村应建在（ ）
A．三边的垂直平分线的交点上 B．三条角平分线的交点上C．三条高线的交点上 D．三边中线的交点上
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质即可得出结论．
【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在 ABC三条角平分线的交点处．
故选：B． △
【点睛】本题考查了角平分线性质的实际应用，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，
熟记性质是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC
于点F．若 ，DE＝4，AB＝8，则AC长是______．
【答案】6
【分析】首先由角平分线的性质可知 ，然后由 及三角形的面积公式得出结
果．
【详解】解： 是 中 的平分线， 于点 ， 交 于点 ，
．
又 ， ，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积求线段的大小．【题型4】作角平分线（尺规作图）
1．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的 的两边上，
分别截取 ，使 ．再分别以点C，D为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 内
交于点P，作射线 ，则射线 就是 的平分线．其作图原理是： ，这样就有
，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据SSS证明三角形全等即可；
【详解】解：由作图可知 ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即射线 就是 的平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形
信息，灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-1】2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在 中， ，以顶点A为圆心，以适当长为半径
画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于
点P，作射线 交边 于点D，若 ， ， 的面积为24，则 的长为___________．
【答案】3
【分析】首先过点 作 的垂线交 于点 ，根据角平分线的尺规作图方法可知： 平方 ，
，再根据角平分线的性质，可得 ，然后设 ，再根据 ，
即可得出方程，解出即可得出 的长．
【详解】解：如图，过点 作 的垂线交 于点 ，
由题意可知： 平分 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
又∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ．故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，解本题的关键在根据题意得出 平方
．
专项训练
一．选择题
1．（2018·广西梧州·中考真题）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点
F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质进行求解即可得.
【详解】∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6，
故选：D.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分
线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝
6cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，设OE＝x，然后利用三角形面积公式得到S ABC＝
S OAB+S OAC+S OCB，于是可得到关于x的方程，从而可得到OF的长度． △
【△详解】解△：∵点O△为 ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD， △
设OE＝x，
∵S ABC＝S OAB+S OAC+S OCB，
△ △ △ △
∴
∴5x+3x+4x＝24，
∴x＝2，
∴点O到AB的距离等于2．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，面积法的应用是解题的
关键．
3．（2022·广东清远·八年级期中）如图， 中， ， 平分 ，交 于点 ，
， ，则 的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边距离相等证明CD=DE，再根据三角形面
积公式即可求得DE的长度，从而解决问题．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵S ＝ AB•DE＝15，且AB=10，
ABD
△
∴DE=3，即CD=DE=3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等，解题的关键是正确作出辅助线．
4．（2020·云南临沧·八年级期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，若 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点D作 于点E，根据角平分线的性质得 ，DE＝DC再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过点D作 于点E，
在 中，
，
是 的平分线，
，
，
， ，
，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．
5．（2018·湖南常德·中考真题）如图，已知 是 的角平分线， 是 的垂直平分线，
， ，则 的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而
可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是 ABC的角平分线，
∴∠ABD=△∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3 ，
故选D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，
结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
二、填空题
6．（2021·福建·中考真题）如图， 是 的角平分线．若 ，则点D到 的距离
是_________．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
【详解】如图，过D作 ，则D到 的距离为DE平分 ， ，
点D到 的距离为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分
线的性质是解题关键．
7．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离
相等的点有________个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有________个．
【答案】 无数 1
【详解】根据角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
则到∠BAD两边距离相等的点在∠BAD的平分线上即可，
而∠BAD的平分线在△BDC的内部是一线段，
故△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有无数个；
到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点即∠BAD的平分线与∠DBC的平分线的交点，此交点在△BDC
的内部，
故BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有一个.故答案为无数；1.
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图， 中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交 于点M，
交 于点N，分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线 ，过点
C作 于点D． 交 于点E，若 ，则 的度数为_______________．
【答案】65° ##65度
【分析】根据作图先得出OC平分∠AOB，根据 ，得出 ，根据 为 的
外角，得出 ，即可求出 ，根据 ，得出 ，即可求解．
【详解】解：根据作图可知，OC平分∠AOB，
∴ ，
∵ ，
，
，
为 的外角，
，
，
，
，
．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了角平分线的基本作图，平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，
根据题意求出 是解题的关键．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图， ，若 ，则 到 的距离为
_________．
【答案】4
【分析】过P点作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD，即可求解．
【详解】解：如图，过P点作PE⊥OB于E，
∵ ，PE⊥OB，
∴PE=PD=4，
即P到OB的距离是4，
故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
10．（2021·全国·八年级课时练习）如图， 平分 ， 在 上， 于 ， 于 ．
若 ，则 ____ ．
【答案】3
【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝
_________．
【答案】60°##60度
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平分∠AOB，再根据角平分线的定义可
得∠AOB=2∠BOC．
【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOC，
又∠BOC＝30°，
∴∠AOB =60°．
故答案为：60°．【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握角平分线的判定是解题的关键．
三、解答题
12．（2022·全国·八年级专题练习）如图， 是 平分线上的一点，若 ，证明：
【答案】见详解.
【分析】过点D作 于点G， 于点H，利用 结合补角的定义可证
，由AAS可证 ，由全等的性质可得结论.
【详解】解：过点D作 于点G， 于点H，则
是 平分线上的一点
在 和 中
即
【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，灵活利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质是解题的关键.
13．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，AB＝AC，BD＝DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E．求
证：DE＝DF．
【答案】证明见解析．
【分析】先根据三角形全等的判定定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ，
然后根据角平分线的性质即可得证．
【详解】证明：在 和 中， ，
，
，即 是 的角平分线，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是
解题关键．
14．（2013·浙江温州·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D
作DE⊥AB，于点E
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
【答案】（1）见解析（2）BD=2
【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中， ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，
∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A 内一点，AB = AD，BC
= CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF．
【答案】见解析
【分析】首先证明△ADC≌△ABC可得∠DAC＝∠BAC，再根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等可得结论．
【详解】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定方
法．16．（2022·浙江·八年级专题练习）如图， 为 的中线， ．
(1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作 的角平分线，交 于点 ，交 于点 ；（保留作
图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
（2）根据三角形中线的定义得到AC=2AD，求得AB=AD，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠DAE，根据
全等三角形的判定定理即可得到结论．
（1）
解：如图，角平分线AF即为所求；
（2）
证明：∵BD为△ABC的中线，
∴AC=2AD，
∵AC=2AB，
∴AB=AD，
∵AF是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
在△AEB与△AED中，
∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△AEB≌△AED（SAS）．【点睛】本题考查了作图——尺规作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形
的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
17．（2022·全国·八年级专题练习）图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，
∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．
(1)求证：DO平分∠ADC．
(2)若点A的坐标是 ，求点B的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 可得 ，由 可得 ，再结合
平分 ，即可证明 平分 ．
（2）作 于 ，利用角平分线的性质可得 ，由此可得 的坐标．
（1）
证明： 轴， 轴，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
平分 ．（2）
：作 于 ，
， ．
平分 ， ， ，
．
平分 ， ， ，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解
决本题的关键．
