3.6零点定理（精讲）（教师版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

3.6 零点定理（精讲） 一．函数的零点 1．零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 易错点：函数的零点不是函数y＝f(x)图象与x轴的交点，而是y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，也就是说 函数的零点不是一个点，而是一个实数. 二．函数零点存在定理 1.概念：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝ 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2.变号零点：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点， 而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 三．二分法 1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一 分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x 的近似值的一般步骤如下： 0 ①确定零点x 的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0． 0 ②求区间(a，b)的中点c． ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若f(c)＝0(此时x＝c)，则c就是函数的零点； 0 (ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x∈(a，c))，则令b＝c； 0 (ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x∈(c，b))，则令a＝c． 0 ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④． 一．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 1.利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0．若 有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点； 2.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 二．函数零点个数的判定方法 1.解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点． 2.函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． 3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交 点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 三．根据函数零点个数求参数 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题，需准确画出两 个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围． 四．根据函数零点所在区间求参数范围 1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． 3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】五．嵌套零点 1.概念：在某些情况下，需要将某函数作为另一个函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面 调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自身，就叫递归调用，也叫递归嵌套． 2.求嵌套函数y＝g[f(x)]零点的技巧 (1)换元解套：将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题． (2)依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． (3)求解此类问题要抓住函数的图象性质，通过两层函数的零点个数及取值范围确定嵌套函数的零点． (4)含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓临界位置，确定参数取值 范围． 六．易错点 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，不要把 它当成一个点． 4．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单 调性、对称性或结合函数图象等综合考虑． 5．忽视分类讨论，如：函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零． 考法一 零点区间 【例1-1】（2023·吉林长春）函数 的零点所在的大致区间是（ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的定义域为 ， 又 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增， 又 ，所以 ， 根据函数零点的判定定理可得函数 的零点所在的大致区间为 ，故选：C. 【例1-2】（2023·广东肇庆）已知 唯一的零点同时在区间 和 内，下列说法错误的是（ ） A．函数 在 内有零点 B．函数 在 内无零点 C．函数 在 内有零点 D．函数 在 内无零点 【答案】A 【解析】因为 唯一的零点同时在区间 和 内， 则该函数唯一的零点同时在区间 内，可知B，C，D正确， 对于A，函数 唯一的零点可能在 内，也可能在 内，故A错误.故选：A 【一隅三反】 1．（2023春·江苏宿迁）函数 的零点所在的区间可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 ， 则函数 的零点即为函数 的交点的横坐标， 如图，作出函数 的图象， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知函数 的交点在第一象限，且只有一个交点 即函数 的零点大于零，且只有一个零点， 又 ， 所以函数 的零点所在的区间可以是 . 故选：C. 2．（2023广东揭阳）函数 的零点所在的区间为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数， 因为函数 在 上是连续的曲线，且 ， ， 所以，函数 的零点所在的区间为 .故选：B. 3．（2023春·湖南）函数 的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C 【解析】因为 ， ， ，所以 ， 所以函数 的零点所在的区间为 ，故选：C． 考法二 零点个数 【例2-1】（2023·福建厦门）函数 的零点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【解析】令 ，则 ，所以 的零点为1和 ，故有两个零点， 故选：C 【例2-2】（2023·全国·高三对口高考）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 在 上的零点个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】先绘制 在 上的图像，根据 是奇函数，可得到 在 上图像和 ， 再由 得到 的周期为2， 令 ，则 ，所以 ， 即可得到 的图像， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知， ， 所以 在 有6个零点， 故选：D． f x f x f x423 R 【例2-3】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，当 x0,4 f xx22x f x 4,2023 时， ，则函数 在区间 上的零点个数是（ ） A．253 B．506 C．507 D．759 【答案】B 【解析】由 f(x) f(x4)23得 f(x4) f(x8)23， 所以 f(x8) f(x)，即 f(x)是以8为周期的周期函数， x(0,4] f(x)x22x 当 时， 有两个零点2和4， x(4,8] f(x)23 f(x4)23(x4)22x4 23(x4)22x4 0 当 时， ，令 ， 2x4 (x4)223 则有 ， x(4,8] (x4)2230 2x4 1 当 时， ， ， 2x4 (x4)223 所以 无解， x(4,8] f(x)23(x4)22x4 所以当 时， 无零点， 202325287 (0,2016] 2252504 x(0,4] f(x) 又 ，因此在 上函数有 个零点，当 时， 有两个零点2和 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x4,7 f(x) x4,0 f(x) 4，当 时， 无零点，当 时， 无零点， 4,2023 f(x) 5042506 因此有 上， 有 个零点． 故选：B． 【一隅三反】 1．（2023·四川）方程 的实数解的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程 的实数解的个数为1， 故选：B 2．（2023北京）函数 的零点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】由题意可知：要研究函数 的零点个数，只需研究函数 ， 的图像交点个 y x2 数即可.画出函数 ， 2 的图像， x1 y  y x3 y  y x5 y  y 因为 时， 1 2， 时， 1 2 ， 时， 1 2， 可知当1x3和3x5时，图像各有一个交点，x0时，必有一个交点， A2,4 B4,16 且交点为 ， 及第二象限的点C. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D 考法三 零点个数求参数 log x,x0 f x 2 【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数 2xa,x0 有且只有一个零点的充分条件是 （ ） 1 0a A． B． a0 2 1 C． a1 D． 2 a1 【答案】A f x 1,0 f x y2xax0  【解析】因为函数 恒过点 ，所以函数 有且只有一个零点 函数 没有零点  y2xx0 ya a0 a1 函数 的图像与直线 无交点，数形结合可得， 或 f x a0 a1 即函数 有且只有一个零点的充要条件是 或 , 只有选项A是函数有且只有一个零点的充分条件, 故选：A ex,x0  f x 【例3-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数  x22 5,x0 ， gxkx1 ， f xgx0 若方程 恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2,1  e2,  2,12e, A． B． 3,1  e2,  3,12e, C． D． 【答案】A ex,x0  f x 【解析】作出  x22 5,x0 与 gxkx1 的图象，如图， x0 gxkx1 yex B(x,y ) 当 时，设 与 相切于点 1 1 ， y 0 ex1 k  f(x )ex1  1  则 1 x 1 x 1，解得x 2，所以k e2， 1 1 1 k e2 gxkx1 yex y(x2)2+5(x0) 由图象可知，当 时， 与 有2个交点，与 有1个交点，即 gxkx1 y f(x) 与 有3个交点.； x0 gxkx1 y(x2)2+5(x0) C(x ,y ) 当 时，设 与 相切于点 2 2 ， y 0 x24x 1 k 2x 4 2  2 2 由y2x4可知， AC 2 x 1 x 1 ， 2 2 10 解得x 1或x 3（舍去），此时k 2，而k AD  01 1， 2 2 AC 2k 1 gxkx1 y f(x) 由图象知，当 时， 与 有3个交点. 2k 1 k e2 f xgx0 综上， 或 时图象有3个交点，即方程 恰有三个不相等的实数根. 故选：A 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 x x2 0x1   2 【例3-3】（2023·海南）已知函数 是定义在R上的偶函数，且满足 f x ，若函数 x1  x1 f x  ex Fx f xm 有6个零点，则实数m的取值范围是________．  1  【答案】0,   e2  F(x) f(x)m y f(x) ym 【解析】函数 有6个零点，等价于函数 与 有6个交点， x 1 1 f(x)x2 (x )2 当0x1时， 2 4 16 ， x1 2x 当 时， f(x) ， f(x) ， x1 ex ex f(x)0 1x2 f(x)0 x2 令 ，解得： ；令 ，解得： ， 1 f(2) 当x[1,2]时， f(x)递增，当x(2,)时， f(x)递减， f(x)的极大值为： e2 ， 作出函数 f(x)的图象如下图， 1  1   1  0m 0,  0,  y f(x)与ym的图象有6个交点，则 e2 ，故实数m的取值范围是 e2 .故答案为： e2  【一隅三反】 f xx3axa1 1．（2023·全国·高三专题练习）函数 有两个不同的零点的一个充分不必要条件是 （ ） A．a3 B．a2 C．a1 D．a0 【答案】A 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f xx31ax1x1 x2x1a  f x 【解析】 ，则1是 的一个零点， f x 则 有两个不同的零点有两种情形： x2x1a0 ①1是方程 的根， 111a0 a3 x2x20 2 则 ，即 ，此时方程 有1， 两个根， f x 2 故 有1， 两个不同的零点； x2x1a0 x2x1a0 ②1不是方程 的根，则方程 有两个相同的实数根， 3 1 则141a0，得a ，此时x2 x 0， 4 4 1 故 f x有1，  两个不同的零点； 2 3 综上，函数 f xx3axa1有两个不同的零点，则 或 a ， a3 4 f x a3 所以 是 有两个不同的零点的一个充分不必要条件， 故选：A. f x2cos2x 3sin2x10 0,π  2.（2023·四川巴中）已知函数 在 上恰有3个零点，则 的取值范 围是（ ） 17 23 17 23 23 29 23 29  ,   ,   ,   ,  A．12 12 B．12 12 C．12 12 D．12 12 【答案】A π 【解析】由题意可得 f(x)cos2x 3sin2x2sin(2x )，因为x0,π，所以 6 π π π π 17 23 2x   ,2π ，则3π2π 4π，解得  ． 6 6 6 6 12 12 故选：A． (x1)2, x0, f x 3．（2023·山东济南·统考三模）已知函数  lgx, x0,若函数gx f xb有四个不同的零点， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则实数b的取值范围为（ ） 0,1 0,1 0,1 1, A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 gx f xb f xb 依题意，函数 有四个不同的零点，即 有四个解， y f x yb 转化为函数 与 图象由四个交点， y f x 由函数函数 可知， x,1 y0, 当 时，函数为单调递减函数， ； x1,0 y0,1 当 时，函数为单调递增函数， ； x0,1 y0, 当 时，函数为单调递减函数， ； x1, y0, 当 时，函数为单调递增函数， ； 0,1 b 结合图象，可知实数 的取值范围为 . 故选：A x33x2e,x1  f xex 4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数  x2 ,x1 ，若函数 gx f xm 有且只有三个零点，则实数m的取值范围是______.  e2  e4, e 【答案】 4  资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f xx33x2e fx3xx2 x1 【解析】当 时， ， ， 2x0 f�( x) >0 x<2 0x1 fx0 所以当 时 ，当 或 时 ， f x ,2 2,0 0,1 f 2 f 14e 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， f 0e ； ex x2 当 x1 时， f x x2 ， fx x3 ex，所以当 x2 时 f�( x) >0 ，当 1x2 时 fx0， ex e2 所以 f x在1,2上单调递减，在2,上单调递增，令gx x2 ，则g1e，又 f 2 4 . f x 作出函数 的函数图象如下： gx f xm y f x ym 若 有且只有三个零点，即 与 只有三个交点，  e2  me4, e 由图可知需满足  4  .  e2  e4, e 故答案为： 4  考法四 函数零点的范围求参数 x25,x2 f x 【例4-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数 xlg(x2),x2，若方程 f(x)1的实根在区间 (k,k1),kZ 上，则k的最大值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．2 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C x2 f xx25 f(x)1 x 6 【解析】当 时， ，当 时，解得 ； f xxlg(x2) f 1lg31 f 22lg4lg161 x2 当 时， ，其中 ， ， f(x)1 x1,2 当 时，解得 ，综上k的最大值是1. 故选：C. x 2x3a10 ,1 a 【例4-2】（2023春·上海青浦·）若关于 的方程 在 上有解，则实数 的取值范围是 ______． 1  【答案】 ,1  3  2x3a10 ,1 y2x y3a1 ,1 【解析】程 在 上有解，等价于函数 与 在 有交点， 1 1  因为 x,1 ，所以 y2x0,2 ，所以03a12，解得3 a1 .故答案为：  3 ,1   【一隅三反】 f(x)log xx2m 2,4 m 1．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数 2 在区间 上存在零点，则实数 的 取值范围是（ ） ,18 (5,) A． B． (5,18) 18,5 C． D． 【答案】D f(x)log xx2m 2,4 【解析】由零点存在定理可知，若函数 2 在区间 上存在零点， f(2) f(4)<0 m5m18<0 18