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4.5 导数的综合运用（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 零点的个数
【例1】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值点；
(2)当 时，试讨论函数 的零点个数.
【答案】(1) (2)有 个零点
【解析】(1)当 时， ，则 ，
令 ，则 .
当 时， ， ，
在 上单调递增， ， 在 上单调递增.
当 时，可得 ， ， 在 单调递减；
综上，函数 的极值点为 .
(2)当 时， ， 是 的一个零点，
令 ，可得 .因为 ，
①当 时， ， ， 在 单调递增， ，在 单调递增， ，此时 在 无零点.
②当 时， ，有 ， 此时 在 无零
点.
③当 时， ， ， 在 单调递增，又 ，
，
由零点存在性定理知，存在唯一 ，使得 .
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
又 ， ，所以 在 上有 个零点.
综上，当 时， 有 个零点.
【一隅三反】
1．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)判断函数 的零点个数，并说明理由.
【答案】(1) (2) 在区间 上有且仅有一个零点，理由见解析
【解析】(1) ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
(2)设 ，则 ，①当 时， ，所以 单调递减；
且 ， ，
由零点存在定理可知，在区间 存在唯一的 ，使
又当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，
且 ， ，
所以 在 上有唯一零点；
当 时， 单调递减，且 ，
所以 在 上没有零点.
②当 时，单调递增， ， ，
所以 在区间 有唯一零点，设为 ，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
在区间 上 ，此时 单调递减，
且 ，故有 ，此时 单调递减，且 ，
由 ，得 ，
所以 .
当 时， ，所以 单调递增，
又 ，故 ，
， ，
所以存在 ，使 ，即 ，故 为 的极小值点.
此时 .所以 在 上没有零点.
③当 时， ，
所以 ，所以 在区间 上没有零点.
综上 在区间 上有且仅有一个零点.
2．（2022·北京四中三模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，讨论 的零点个数.
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为 (2)答案见解析
【解析】(1)当 时，函数 ，
可得 .
当 在区间 上变化时， ，f（x）的变化如下表：
x 0
0 + 0 -
f（x） 极小值1 -1
极大值
所以 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 .
(2)由题意，函数 ，
可得当 时， 在 上恒成立，
所以 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以f（x）在 上有0个零点.
当 时，令 ，可得 .
由 可知存在唯一的 使得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
①当 ，即 时， 在 上有0个零点.
②当 ，即 时， 在 上有1个零点.
综上可得，当 时， 有2个零点；当 时， 有0个零点.
3．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，设 ，求证： 在 上只有1个零点
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增(2)证明见解析
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ．
令 ，解得 ，
则有当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．(2)证明：由于 ， ．
设 ， ，
则 在 上的零点也是 的零点，且有 ．
①当 时，由于 ，
所以 在 上单调递增；
又 ，
所以 ；
由于 ，且 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 在 上有1个零点．
②当 时，设 ，所以 ，
则当 时， ，
所以 在 上单调递减．
又 ，所以当 时， ，
即 ；
所以当 时， ．
设 ， ，所以 ，则 在 上单调递减，
所以当 时， ，则 ，所以 在 上无零点．
③当 时，由于 ， ，
所以 ,所以 在 上无零点．
综合①②③，可知， 在 上只有1个零点．
考点二 已知零点个数求参
【例2】（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
(2) ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，所以 有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】(1)由题意知， ，
的定义域为 ， ．
若 ，则 ，所以 在 上单调递减；
若 ，令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)因为 ，所以 有两个零点，即 有两个零点．
若 ，由（1）知， 至多有一个零点．
若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 ．
①当 时，由于 ，故 只有一个零点：
②当 时，由于 ，即 ，故 没有零点；
③当 时， ，即 ．
又 ，故 在 上有一个零点．存在 ，则 ．
又 ，因此 在 上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为 ．
2（2022·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1) 的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
(2)
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当
当
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
所以存在 ,使得当 单调递减
当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减
有
而 ,所以当
所以 在 上有唯一零点, 上无零点
即 在 上有唯一零点
所以 ,符合题意
所以若 在区间 各恰有一个零点,求 的取值范围为
3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)当 有三个零点时a的取值范围恰好是 求b的值.【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1) 的定义域为 ，
若 ，则 ，
在 单调递增， 单调递减，
若 ，则 或 ，
，
在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
若 ，则
或 ，
在 单调递减， 单调递增， 单调递减.
(2)
可知 要有三个零点，则 ，
且
由题意也即是 的解集就是 ，
也就是关于 的不等式 的解集就是 ，令 ，
时 ，
所以有 或 ，
当 时， ，
的解是 ，满足条件，
当 时， ，
当 时， ，不满足条件，
故 ，综合上述 .
考点三 不等式恒（能）成立
【例3】（2022·天津市）已知函数 ， （ ），其中e是自然对
数的底数.
(1)当 时，
（ⅰ）求 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求 的最小值；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)若存在 ，使得 成立，求a的取值范围
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ） (2)答案见解析(3)
【解析】(1)当 时， ， .
（ⅰ） ， ，∴切线方程为 .（ⅱ） ，令 ，得 ，
∴当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ .
(2)∵ （ ），
令 得， ，
当 时， ， 无零点，
当 时，令 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
∴ ，
当 ，即 时， ，函数 在 上无零点，
当 ，即 时， ，函数 在 上有唯一零点，
当 ，即 时， ，又 ， ，
∴函数 在 ， 上各有一个零点，
综上，当 时，函数 在 上无零点，当 时，函数 在 上有唯一零点，
当 时，函数 在 上有两个零点.
(3)
由 得， ，
∴ ，即 ，
令 ，则 在 上有解，
令 ，当 时， ，不合题意；
当 时，则 ，令 得 ，
当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，即a的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2022·河南安阳）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)当 时， ，则 ，所以， ，
此时，函数 在 处的切线方程为 .(2) ，由 可得 ，其中 ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以，存在 使得 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，故函数 在 上为增函数，
因为 ，所以， ，可得 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ， .
2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使 对 恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；(2)存在， .【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即 .
当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，因为 ，
所以，当 时， ， ；当 时， ， ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)法一：设 ，则 ，
①当 时， ， ，即 ，
故 不符合题意.
②当 时，
当 时， .·
令 ，即 ，
取 ，则 ，即 ， .
故 不符合题意.
③当 时，令 ， ，则 ，
故 在 单调递增.
因为 ， ，所以存在唯一的 使得 ，
所以， 时， ， ； 时， ， ，
故 在 单调递减，在 单调递增.
所以 的最小值为 ，
因为 ，即 ，两边取对数得 ，
所以 .
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
故当且仅当 时， 在 恒成立，
综上，存在a符合题意， .
法二：设 ，则 ，
设 ，易知 在 单调递增，
①当 时，因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ， .
所以当 ， ，即 ， 单调递减；
当 ， ，即 ， 单调递增.
故 ，即 ，符合题意.②当 时， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以当 ， ，即 ， 单调递减，
故 ，即 ，故 不符合题意.
③当 时， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以当 ， ，即 .
所以 在 单调递增，故 ，即 ，
故 不符合题意.
④当 时， ，不符合题意.
⑤当 时， ，不符合题意.
综上，存在a符合题意， .
法三：①当 时， ，故 在 上单调递增.
因为 在 单调递增，且 ， ，
故存在唯一 ，使得 ，即 ，
即 ，故 ，
所以任意 ，都有 .
故 不符合题意.②当 时， ，
对于函数 ， .
所以 时， ； 时， .
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 ，所以 ，
故 ，故 符合题意.
③当 且 时，对于函数 ，
因为 在 单调递增，且 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 .
令 ，则 ，
故 在 单调递增，在 单调递减.
故 ，当且仅当 时，“=”成立.
所以当 时， ，即 ， ，
故 不符合题意.
综上，存在a符合题意， .
法四：设 ， ，易知 在 单调递增.又当 时， ，所
以 的值域为 ；当 时， 的值域为 .
所以 的值域为 .
故对于 上任意一个值 ，都有唯一的一个正数 ，使得 .
因为 ，即 .
设 ， ，所以要使 ，只需 .
当 时，因为 ，即 ，所以 不符合题意.
当 时，当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增.
所以 .
设 ， ，
则 ，当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减.
所以 ，所以 ， ，当且仅当 时，等号成立.
又因为 ，所以 ，所以 .
综上，存在a符合题意， .
3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数 ．
(1)若 在 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)【解析】
(1) ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以此时 在 上仅有一个零点，符合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
要使 在 上仅有一个零点，则必有 ，解得 ．
综上，当 或 时， 在 上仅有一个零点．
(2)因为 ，所以对任意的 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立．
令 ，则只需 即可，
则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
因为 ， ，所以 有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ，
则有 ．
所以实数a的取值范围为 ．
考点四 证明不等式
【例4】（2022·四川省）己知函数 （其中e为自然对数的底数， …）．
(1)若 恒成立，求实数a的值；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)1；(2)证明见解析.
【解析】(1)设 ，则 ．
当 时， 单调递增， ，不满足 恒成立；
当 时，由 ，可得 ，
所以 ， ， 单调递减．
， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
即 ，即 ．设 ，
则 单调递减， 单调递增，
即 ，
故 的解只有 ．
综上， ．
(2)
先证当 时， 恒成立．
令 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ．
所以要证 ，可证 ，
即证 ，即证 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以当 时， ．
【一隅三反】
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知函数 （e为自然对数的底数）有
两个零点．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： ．【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)当 时， ， ，
又 ，所以切点坐标为 ，切线的斜率为 ．
所以切线方程为 ，即
(2)由已知得 有两个不等的正实跟．
所以方程 有两个不等的正实根，即 有两个不等的正实根，
①
要证 ，只需证 ，即证 ，
令 ， ，所以只需证 ，
由①得 ， ，
所以 ， ，消去a得 ，只
需证 ，
设 ，令 ，则 ，
则 ，即证构建 则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
即当 时， 成立，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，证毕．
2．（2022·河南·高三阶段练习）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)由题意可得 .
由 ，得 ；由 ，得 .
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
(2)证明：要证 ，即证 ，
即证 .
设 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.设 ，则 .
由（1）可知当 时， .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
因为 与 等号成立的条件不同，
所以 ，即 .
3．（2022·河南）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)0；(2)证明见解析.
【解析】(1)解：由题意可得 .
由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
(2)证明：要证 ，即证 ，
即证 .
设 ，则 .由（1）可知当 时， .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 .
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】(1) 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
(2)由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个零点，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无零点，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，此时 有两个不同的零点 ，
此时 有两个不同的零点 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
