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2025新教材数学高考第一轮复习
3.6 对数函数
五年高考
考点1 对数运算
1 1
1.(2021天津,7,5分,易)若2a=5b=10,则 + =( )
a b
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log 10
7
2.(2020课标Ⅰ文,8,5分,易)设alog 4=2,则4-a=( )
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
3.(2022浙江,7,4分,易)已知2a=5,log 3=b,则4a-3b= ( )
8
25 5
A.25 B.5 C. D.
9 3
4.(2021全国甲理,4,5分,易)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测
量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的
数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法
的数据约为(1√010≈1.259)( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
2
5.(2020课标Ⅲ文,10,5分,中)设a=log 2,b=log 3,c= ,则 ( )
3 5
3
A.a2b B.a<2b C.a>b2 D.a0,且a≠1)的图象可
ax 2
能是 ( )
5.(2017课标Ⅰ文,9,5分,中)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
6.(2021全国乙理,12,5分,难)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=√1.04-1,则 ( )
A.a0,且a≠1,函数f(x)={ 3a−x,x<2, 在
log (x−1)−1,x≥2
a
R上单调,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1 2]
,
3 3
C.[2 ) [1 )
,1 D. ,1
3 3
4.(2024届河北石家庄月考,13)计算: log 1+log 9·log 4= .
2 24 2 3
5.(2023北京汇文中学零模,13)若lg a-2lg 2=1,则a= .
6.(2024届山西长治四中月考,13)函数f(x)=log (x2-3)的单调递减区间是 .
1
2
7.(2024届广东潮州潮安凤塘中学统测(一),15)已知不等式x2-ax-b<0的解集为{x|-10且a≠1),则f(4)= .
a
8.(2024届福建连城一中月考,19)已知f(x)=log x+log (4-x)(a>0且a≠1),且f(2)=2.
a a
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[ 7]上的值域.
1,
2综合拔高练
1.(2023北京延庆一模,5)设a=log
2
1,b=log
3
1,c=(1)−
5
1,则a,b,c的大小关系是 ( )
5 5 5
A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c
2.(2023北京四中零模,6)已知2 023a=2 035,2 035b=2 023,c=log 2 023,则 ( )
2 050
A.aclog c D.log a>log b
a b c c
3.(2023北京东城一模,10)恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称
为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为
“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数,由
下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得N的值为 ( )
M 2 3 7 11 13
lg 0.47
0.301 0.8451.0411.114
M 7
A.13 B.14 C.15 D.16
4.(2024届福建连城一中月考,4)已知函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数,g(x)为奇函数,且当
x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)= ( )
A.-5 B.-6 C.5 D.6
5.(多选)(2024届河北邢台名校期中联考,11)已知lg x+lo y=1,则 ( )
g
√10
A.lg x2+lo y2=2
g
√10
B.x√y=10C.lg(10x)+lo (10y)=4
g
√10
D.当x>1,y>1时,log 10+log √10的最小值为4
x y
6.(2024届湖北黄冈浠水一中开学质检,19)已知函数f(x)=log 2( 2
+a
) 为奇函数.
x−1
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式 +3·2x-b≥0恒成立,求实数b的取值范围.
2f(2x)
3.6 对数函数
五年高考
考点1 对数运算
1 1
1.(2021天津,7,5分,易)若2a=5b=10,则 + =( )
a b
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log 10
7
答案 C
2.(2020课标Ⅰ文,8,5分,易)设alog 4=2,则4-a=( )
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
答案 B
3.(2022浙江,7,4分,易)已知2a=5,log 3=b,则4a-3b= ( )
8
25 5
A.25 B.5 C. D.
9 3
答案 C
4.(2021全国甲理,4,5分,易)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测
量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的
数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法
的数据约为(1√010≈1.259)( )A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
2
5.(2020课标Ⅲ文,10,5分,中)设a=log 2,b=log 3,c= ,则 ( )
3 5
3
A.a2b B.a<2b C.a>b2 D.a0,且a≠1)的图象可
ax 2
能是 ( )答案 D
5.(2017课标Ⅰ文,9,5分,中)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
6.(2021全国乙理,12,5分,难)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=√1.04-1,则 ( )
A.a0,且a≠1,函数f(x)={ 3a−x,x<2, 在
log (x−1)−1,x≥2
a
R上单调,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1 2]
,
3 3
C.[2 ) [1 )
,1 D. ,1
3 3
答案 D
4.(2024届河北石家庄月考,13)计算: log 1+log 9·log 4= .
2 24 2 317
答案
4
5.(2023北京汇文中学零模,13)若lg a-2lg 2=1,则a= .
答案 40
6.(2024届山西长治四中月考,13)函数f(x)=log (x2-3)的单调递减区间是 .
1
2
答案 (√3,+∞)
7.(2024届广东潮州潮安凤塘中学统测(一),15)已知不等式x2-ax-b<0的解集为{x|-10且a≠1),则f(4)= .
a
答案 6
8.(2024届福建连城一中月考,19)已知f(x)=log x+log (4-x)(a>0且a≠1),且f(2)=2.
a a
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[ 7]上的值域.
1,
2
解 析 (1) 由 f(2)=2 得 log 2+log (4-2)=2, 即 2log 2=2, 所 以 log 2=1, 解 得 a=2, 所 以
a a a a
f(x)=log x+log (4-x),
2 2
{ x>0,
由 解得00
(2)由(1)及条件知f(x)=log x+log (4-x)=log [x(4-x)]=log [-(x-2)2+4],x∈[ 7],
2 2 2 2 1,
2
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[ 7],
1,
2
7 7
则当x=2时,t(x) =4,当x=1时,t(x)=3;当x= 时,t(x)= ,
max
2 4
所以当x∈[ 7]时,t(x) =7,即t(x)∈[7 ],
1, min ,4
2 4 4
7
所以f(x) =log 4=2, f(x) =log =log 7-2,
max 2 min 2 2
4
所以f(x)在[ 7]上的值域为[log 7-2,2].
1, 2
2
综合拔高练1.(2023北京延庆一模,5)设a=log
2
1,b=log
3
1,c=(1)−
5
1,则a,b,c的大小关系是 ( )
5 5 5
A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c
答案 A
2.(2023北京四中零模,6)已知2 023a=2 035,2 035b=2 023,c=log 2 023,则 ( )
2 050
A.aclog c D.log a>log b
a b c c
答案 B
3.(2023北京东城一模,10)恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称
为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为
“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数,由
下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得N的值为 ( )
M 2 3 7 11 13
lg 0.47
0.301 0.8451.0411.114
M 7
A.13 B.14 C.15 D.16
答案 C
4.(2024届福建连城一中月考,4)已知函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数,g(x)为奇函数,且当
x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)= ( )
A.-5 B.-6 C.5 D.6
答案 C
5.(多选)(2024届河北邢台名校期中联考,11)已知lg x+lo y=1,则 ( )
g
√10
A.lg x2+lo y2=2
g
√10
B.x√y=10
C.lg(10x)+lo (10y)=4
g
√10
D.当x>1,y>1时,log 10+log √10的最小值为4
x y
答案 ACD
6.(2024届湖北黄冈浠水一中开学质检,19)已知函数f(x)=log 2( 2
+a
) 为奇函数.
x−1
(1)求实数a的值;(2)若关于x的不等式 +3·2x-b≥0恒成立,求实数b的取值范围.
2f(2x)
解析 (1)因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
所以log 2( 2
+a
)
+log2
( 2
+a
)=0在定义域内恒成立,
x−1 −x−1
即( 2 )( 2 ) ax−(a−2) ax+(a−2)=1 在定义域内恒成立,整理得(a-2)2-
+a +a = ·
x−1 −x−1 x−1 x+1
a2x2=1-x2在定义域内恒成立,所以{(a−2) 2=1,解得a=1.因为a=1时, f(x)=log x+1的定义
2
−a2=−1, x−1
域(-∞,-1)∪(1,+∞)关于原点对称,满足题意,所以a=1.
x+1
(2)因为 f(x)=log
2
的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),所以 2x>1 或 2x<-1,解得 x>0,因为 2f(2x)
x−1
+3·2x-b≥0恒成立,所以b≤2x+1+3·2x(x>0),所以b≤3(2x-1)+ 2 +4(x>0).
2x−1 2x−1
2 2
因为当x>0时,2x-1>0,所以根据基本不等式得3(2x-1)+ ≥2√6,当且仅当3(2x-1)= ,
2x−1 2x−1
即x=log
2
(√6
+1
)时等号成立,所以3(2x-1)+ 2
+4≥2√6
+4,所以b∈(-∞,2
√6
+4].
3 2x−1
思路分析
(1)根据题意,由奇函数的定义可得f(x)+f(-x)=0,然后代入计算即可得到结果;
(2)根据题意,将原式变形可得b≤2x+1+3·2x(x>0),然后结合基本不等式计算可得结果.
2x−1
x+1
7.(2024届黑龙江牡丹江二中第一次阶段测,21)已知函数f(x)=log (a>0且a≠1).
a
x−1
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域;
(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间 ( 3 ) 上的值域为(1,2)?若存在,求a,b的值;若
b, a
2
不存在,请说明理由.解析 (1)函数f(x)是奇函数.证明如下:
x+1
由 >0,解得x>1或x<-1,则f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
x−1
f(-x)=log a −x+1 =loga x−1 =loga ( x+1) −1 =−loga x+1=-f(x),故f(x)是奇函数.
−x−1 x+1 x−1 x−1
x+1
(2)当a=2时, f(x)=log ,
2
x−1
则y=f(2x)=log 2x+1 ( 2 ).
2 =log2 1+
2x−1 2x−1
∵f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),∴2x>1,∴ 2 ∈(0,+∞),1+ 2 ∈(1,+∞),∴log
2
(
1+
2 )
2x−1 2x−1 2x−1
∈(0,+∞),
∴y=f(2x)的值域是(0,+∞).
(3)假设存在,∵函数f(x)在 ( 3 ) 上的值域为(1,2),
b, a
2
又a>0,且a≠1,∴由f(x)的定义域得 ( 3 )⊆(1,+∞),
b, a
2
3
∴ a>b>1.
2
f(x)=log a x+1 =loga ( 1+ 2 ).
x−1 x−1
2
当01,∴1+ 2 >1,
f (3 a ) =2, 即 1+ 2 =a2, b−1
2 3
a−1
2
2
∴1+ =a无解.故此时不存在实数a,b满足题意.
b−12
当a>1时,∵y=1+ 在(1,+∞)上单调递减,
x−1
∴函数f(x)=log a(
1+
2 )
在
(
b,
3
a
) 上单调递减,
x−1 2
2
{1+ =a,
{ (3 ) 3
∴ f a =1, a−1
2 即 2
f(b)=2,
1+
2
=a2,
b−1
1 5
解得a=2或a=- (舍),b= .
3 3
5
综上,存在实数a=2,b= 满足题意.
3
