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3.5 幂函数与一元二次函数（精练）
1．（2023·天津·统考高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .所以 .故选：D
2．（2023·江苏）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时函数 的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过 和 点
C．若幂函数 是奇函数，则 是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】对于A，当 时函数 的图像是一条直线但去掉 点，故A错误；
对于B，幂函数的图像都经过 点，当指数 时，都经过 点，故B错误；
对于C，幂函数 的图像关于原点对称，且当 时，函数 是定义域上的增函数；
当 时，函数 在 和 上都为减函数，故C错误；
对于D，由于在函数 中，只要 ，必有 ，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故D
正确.
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数 与 在 均单调递减的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 在 均单调递减可得 即 ；
函数 在 均单调递减可得 ，解得 ，
若函数 与 均单调递减，可得 ，
由题可得所求区间真包含于 ，
结合选项，函数 与 均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
4．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数 在区间
上单调递增，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或
【答案】A
【解析】因为函数 为幂函数，且在区间 上单调递增，
所以 且 ，
由 ，得 或 ，
当 时， ，满足题意；
当 时，足 ，不符合题意.
综上 .
故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设 ，若幂函数 定义域为R，且
其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】C
【解析】由题意知 ，因为其图像关于y轴成轴对称，则 .故选：C．
6．（2023·北京）已知函数 的值域是 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，画出图像，如图所示，
令 ，则 ，解得 或 ，
令 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
对于A：当 时，结合图像，得 ，故A错误；
对于B：当 时，结合图像，得 ，故B错误；
对于C：当 时，结合图像，得 ，故C错误；
对于D：当 时，结合图像，得 ，故D正确；
故选：D．
6．（2023·陕西）已知函数 的定义域为 ，且当 时， ，则 的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 的定义域为 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
当 ，当 ，
故函数 的值域为 .
故选：C．
7．（2023·海南）已知 ，并且m、n是方程 的两根，则实数a、b、m、n的大
小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，又 ，
分别画出这两个函数的图象，
其中 的图象可看成是由 的图象向上平移1个单位得到，如图，
由图可知： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A．
8．（2023·全国·统考高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：“ x∈ ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取
值范围是（ ） ∀
A．－10成立；当a≠－1时，需满足 ，
解得－10时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得 ；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为 或－3．
故选：C．
14．（2023·哈尔滨）（多选）下列是函数 的单调减区间的是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】AC
【解析】由 解得 ，
所以 ，
函数图象如图所示，
由图可知函数 的单调减区间为 和 ，
故选：AC
15．（2023·黑龙江）已知函数：① ，② ，③ ，④ ，既是偶函数，又在 上
为增函数的是_________．
【答案】①④
【解析】对于① ，设 ，定义域为 ，满足 ，
故 为偶函数，又 ，在 上为增函数，符合题意；
对于②， 定义域为R，且为偶函数，在 上为增函数，
故在 上为减函数，不符题意；
对于③ ，定义域为R，设 ，则 ，
故 为奇函数，不符题意；
对于④ ，定义域为 ，设 ，满足 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 为偶函数，在 上为减函数，故在 上为增函数，符合题意，
故答案为：①④
16．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则关于 的表达式
的解集为__________.
【答案】
【解析】由题意可知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以函数 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 在函数 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以关于 的表达式 的解集为 .
故答案为： .
17．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数 ，若
幂函数 为偶函数，且在 上严格递减，则实数 __________．
【答案】
【解析】因 在 上单调递减，则 ；又 为偶函数，则
.故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】18．（2023·广东深圳）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则m的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】由题意可得函数 的图像开口向上，对称轴为 ，
当 时， ，
令 ，解得 或 ，
因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
故 ，故答案为：
19．（2023·四川）若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为
__________．
【答案】30
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 或 时，函数 取最大值，最大值为 .
故答案为：30.
20．（2023·内蒙古）已知二次函数 ，其图象过点 ，且满足
，则 的解析式为______.
【答案】
【解析】根据题意可知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 恒相等，
化简得到 恒相等，
所以 ，故 ， ， ，
所以 的解析式为 .
故答案为： .
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， 成等差数列，则二次函数 的图象与 轴的交点
个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】由 ， ， 成等差数列，可得 ，
所以 ，
所以二次函数 的图象与 轴交点的个数为1或2.故选：D.
2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范
围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当函数 是R上的单调递减函数，所以 ，解得 ，
因为 且 ，所以当 时， 不可能是增函数，所以函数 在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为 ，故选：B
3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数 的两个零点都在区间 内，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二次函数 ，对称轴为 ，开口向上，在 上单调递减，在 上单调递
增，
要使二次函数 的两个零点都在区间 内，需 ，解得
故实数a的取值范围是 故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合 中有且只有一个元素，则
正实数 的取值范围是___________
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意，不等式 且 ，即 ，
令 ，
所以 ，
所以 是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而 一次函数，图象是过一定点 的动直线，
作出函数 和 的图象，如图所示，
其中 ，
又因为 ，结合图象，
要使得集合 中有且只有一个元素，
可得 ，即 ，解得 .
即正实数 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围
为_________．
【答案】
【解析】令 ，
因为 ，所以函数 为奇函数，
由函数 都是增函数，可得 为增函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
则不等式 ，
即为 ，即 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
6．（2023·全国·高三专题练习）对于区间 ，若函数 同时满足：① 在 上是单
调函数；②函数 的值域是 ，则称区间 为函数 的“保值”区间.若函数
存在“保值”区间，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ，
所以当 时，
则有 ，即方程 有两个不相等的正根，
所以 ，解得 ；
当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，
则 ， ，
即方程 有两个不相等的负根，
所以 ，解得 ；
当 时，此时 ，则 ，与题设矛盾；
当 时，则 ，
即 ，解得 或 (舍去)；
综上所述：实数 的取值范围为： .
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）关于 的方程 满足下列条件，求 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于 ，一个根小于 ；
(3)一个根在 内，另一个根在 内；
(4)一个根小于 ，一个根大于 ；
(5)两个根都在 内．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）令 ，设 的两个根为 .
由题得 ，解得 .
（2）若方程 的一个根大于 ，一个根小于 ，则 ，解得
（3）若方程 一个根在 内，另一个根在 内，则 ，解得
（4）若方程 的一个根小于 ，一个根大于 ，
则 ，解得
（5）若方程 的两个根都在 内，则 ，解得
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若不等式 的解集为[1，2]，求不等式 的解集；
(2)若对于任意的 ， ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，若方程 在 有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)[0，1）．
【解析】（1）解：若不等式 的解集为 ， ，
即1，2是方程 的两个根，
则 ，即 ，
则 ，由 得，
即 得 ，得 或 ，
即不等式的解集为 ， ， ．
（2）解:不等式 恒成立，
即 在 ， 恒成立，
令 ， ， ，
则 ，
令 ，解得： ，
故 在 ， 递增，在 ， 递减，
故 （1）或 ，
而 （1） ， ，
故 ．
（3）解：由 得 ，
，即 ，
若方程 在 ， 有解，等价为 有解，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，
， ， ， ，
即 ，即 ，则 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
9.（2023广东潮州）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【答案】见解析
【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1．
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝
t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2．
综上可知，f(x) ＝
min
10．（2023福建福州）已知函数f＝，g＝x2－ax＋1．
(1)若对任意x∈R，a∈，不等式f≤g＋3恒成立，求t的取值范围．
(2)若存在a∈R，对任意x∈，总存在唯一x∈，使得f＝g成立，求a的取值范围．
1 0
【答案】见解析
【解析】(1)因为∀x∈R，＝1＋x2－2x≥0，所以1＋x2≥2x，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以∀x∈R，≤1，故f ＝4，
max
要使对任意x∈R，a∈，不等式f≤g＋3恒成立，只需f ≤t2－at＋4，
max
所以t2－at＋4≥4，即－ta＋t2≥0．
记h＝－ta＋t2，因为a∈，所以只需，即
解得t≤－1或t＝0或t≥1．故t的取值范围为t≤－1或t＝0或t≥1．
(2)当x＝0时，f＝0；
当x∈时，f＝＝，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以f＝∈，所以函数f在上的值域为．
因为对任意y∈，总存在唯一x∈，使得y＝g成立．
0
故⊆，
以下分三种情况讨论：
①当≤－1，即a≤－2时，则，解得a≤－2；
②当≥2，即a≥4时，则，解得a≥4；
③当－1<<2，即－2
