文档内容
第十三章 轴对称
13．3 等腰三角形
13．3．1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标：1．掌握等腰三角形的判定方法．
2．会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算．
重点：等腰三角形的判定方法．
难点：运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算．
自主学习
知识链接
1．说一说等腰三角形的定义．
2．忆一忆，在学过的知识中，有哪些证明线段相等的方法？
3．等腰三角形中，常用的作辅助线的方法有几种？分别是什么？
课堂探究
一、要点探究
探究点：等腰三角形的判定
互动探究：如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得
∠B=∠C．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑
风浪因素）？
建立数学模型：
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什
么数量关系，你能得出什么结论？你能验证你的结论吗？
知识要点：
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等
边”）．
应用格式：在△ABC中，
∵∠B=∠C，( 已知 )
∴AC=_____．( )
即△ABC为等腰三角形．
辨一辨：如图，下列推理正确吗?
典例精析
例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰
三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
例2：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．
求证：AB=AD．方法总结：平分角+平行=等腰三角形．
变式训练：
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
练一练
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定 △ABC是等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝
40°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝
60°
2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，
则CD等于_______．
例3：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
例4：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE
与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只
限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
例5：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．过O作EF∥BC交
AB于E，交AC于F．探究EF、BE、FC之间的等量关系．
想一想：若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用
转化思想，解决问题．
二、课堂小结 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的判定
等角对等边 注意是指同一个三角形中
当堂检测
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，
则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
第1题图 第3题图
2．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形
是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=40°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点
O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBA=_____，∠BDC=_____，图中
的等腰三角形有_______________________．
第4题图 第5题图5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于
M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____．
6．如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达
B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离．
N北
C 80°
B
40°
A
7．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D．求证：BC＝CD．
拓展提升
8．在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和
一个底角∠C：请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？参考答案
自主学习
一、知识链接
1．有两边相等的三角形是等腰三角形．
2．全等三角形对应的边相等；角平分线上任一点到角两边的距离相等登．
3．3种，作顶角平分线，底边上的高或底边上的中线．
课堂探究
一、要点探究
探究点：等腰三角形的判定
建立数学模型 AB=AC
做一做 AB=AC
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D．∴ ∠1 =∠2.
在△ABD与△ACD， ∴ △ABD ≌ △ACD． ∴AB=AC．
知识要点 AB 等角对等边
辨一辨 错，因为都不是在同一个三角形中．
典例精析
例1 证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC．
例2 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．
变式训练 解：是．由折叠可知，∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形．
针对训练
1．B 2．3 cm
例3 解：作法：1．作线段AB=a．
2．作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．
3．在MN上取一点C，使DC=h．
4．连接AC，BC，则△ABC即为所求．
例4 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°．
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD．
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
例5 解：EF=BE+CF．理由如下：
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO．
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EO+FO＝BE+CF．当堂检测
1．A 2．C 3．D 4．36° 72° △ABC、△DBA、△BCD 5．9
6．解：∵∠NBC=∠A+∠C，∴∠C=80°- 40°= 40°，∴∠C = ∠A，∴BA=BC（等角对等
边）．
∵AB=20×（12-10）=40(海里)，∴BC=40海里．
答：B处距离灯塔C 40海里．
7．证明：连接BD．∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．
∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD．
拓展提升
8．解：3种“补画”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．
