文档内容
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．2 乘法公式
14．2．1 平方差公式
学习目标：1．经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征．
2．灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题．
重点：掌握平方差公式的结构特征．
难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题．
自主学习
一、知识链接
1．多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．
2．计算：
（1）(x＋1)(x＋3)＝_________________；（2）(x＋3)(x－3)＝________________；
（3）(m＋n)(m－n)＝________________．
课堂探究
一、要点探究
探究点：平方差公式
算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①(x＋1)(x－1)=_______________；②(m＋2)(m－2)=_______________；
③(2m＋1)(2m－1)=_______________； ④(5y＋z)(5y－z)=_______________．
想一想：这些计算结果有什么特点？
要点归纳：平方差公式：
(a+b)(a−b)=_________，即两数和与这两数差的积，等于这两数的__________．
公式变形：
1．(a－b)(a+b)= a2－b2
2．(b+a)(－b+a)= a2－b2
填一填：
(a－b)(a+b) a b a2－b2
(1+x)(1－x)
(－3+a)(－3－a)
(1+a)(－1+a)
(0.3x－1)(1+0.3x)练一练：口答下列各题：
（1）(－a+b)(a+b)=_________． （2）(a－b)(b+a)= __________．
（3）(－a－b)(－a+b)= ． （4）(a－b)(－a－b)= ．
典例精析
例1：计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）（－x+2y)(－x－2y)．
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：（1）左边是两个二项式相乘，
并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是相同项的平方减去
相反项的平方；（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
针对训练
利用平方差公式计算：
（1）(3x－5)(3x＋5)； （2）(－2a－b)(b－2a)；
（3）(－7m＋8n)(－8n－7m)．
例2：计算：
（1）102×98； （2）(y+2)(y－2)－(y－1)(y+5)．
针对训练
计算：
（1）51×49； （2）(3x+4)(3x－4)－(2x+3)(3x－2) ．
例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2．
例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整
除性或倍数问题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除
性或倍数关系．例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈
说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈
一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
二、课堂小结
当堂检测
1．下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2．计算（2x+1）（2x－1）等于（ ）
A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1 D．4x2+1
3．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正
方形的面积，差是________．
4．利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a－3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)．
5．计算：20222－2021×2023．6．利用平方差公式计算：
（1）(a－2)(a+2)(a2 + 4)； （2）(x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)．
7．先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2．
拓展提升
8．已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝
1－x4，……
（1）观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n为正整数)；
（2）根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．乘 相加
2．（1）x2+4x+3 （2）x2-9 （3）m2-n2
课堂探究
二、要点探究
探究点：平方差公式
算一算 ①x2－12 ②m2－22 ③(2m)2－12 ④(5y)2－z2
要点归纳 a2-b2 平方差
填一填：
(a－b)(a+b) a b a2－b2
(1+x)(1－x) 1 x 12－x2
(－3+a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2
(1+a)(－1+a) a 1 a2－12
(0.3x－1)(1+0.3x) 0．3x 1 (0.3x)2－12
练一练 （1）b2－a2 （2）a2－b2 （3）a2－b2 （4）b2－a2
典例精析
例1 解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；
（2）原式＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2．
针对训练
解：（1）原式=(3x)2－52＝9x2－25.
（2）原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
（3）原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2．
例2 解：（1）102×98=(100＋2)(100－2)=1002－22=10000–4=9996.
（2）(y+2)(y－2)－(y－1)(y+5)=y2－22－(y2+4y－5)=y2－4－y2－4y+5=－4y+1．
针对训练
解：（1）原式=(50＋1)(50－1)= 502-12=2500–1=2499.
（2）原式=(3x)2－42－(6x2+5x－6)=9x2－16－6x2－5x+6=3x2－5x－10．
例3 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2．
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15．
例4 解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10．
∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，
∴n2-1为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
例5 解：李大妈吃亏了．理由如下：
原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．
∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
当堂检测
1．C 2．A 3．10
4．解：（1）原式=a2－(3b)2=a2－9b2.
（2）原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2－32=4a2－9.（3）原式=(－2x2)2－y2=4x4－y2．
5．解：原式=20222－(2022－1)(2022+1)=20222－(20222－12)=20222－20222+12 =1．
6．解：（1）原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16．
（2）原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8．
7．解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1．
将x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7．
拓展提升
8．解：（1）1－xn+1
（2）①-63 ②2n+1－2 ③x100－1
（3）①a2－b2 ②a3－b3 ③a4－b4
