文档内容
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标：1．理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释．
2．灵活应用完全平方公式进行计算．
重点：掌握完全平方公式的结构特点．
难点：灵活应用完全平方公式进行计算．
自主学习
一、知识链接
1．填空：
（1）4＋(5＋2)＝___________； （2）4－(5＋2)＝___________；
（3）a＋(b＋c)＝___________； （4）a－(b－c)＝___________．
2．去括号法则：去括号时，如果括号前是 ，去掉括号后，括号里的各项都
________；如果括号前是________，去掉括号后，括号里的各项都________．
3．计算：
（1）(x＋1)2＝___________； （2）(x－1)2＝___________；
（3）(m＋n)2＝___________； （4）(m－n)2＝___________．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：完全平方公式
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；
（2）(m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；
（3）(p－1)2=(p－1)(p－1)=___________；
（4）(m－2)2=(m－2)(m－2)=___________．
问题2：根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？
(a+b)2= ___________； (a－b)2=___________．
要点归纳：完全平方公式：
(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2．
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的积的
________．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”问题3：你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
和的完全平方公式：(a+b)2= ．
差的完全平方公式：(a－b)2= ．
问题4：观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2
1．说一说积的次数和项数；
2．两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
3．两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？
要点归纳：公式特征：
1．积为二次三项式；
2．积中两项为两数的平方和；
3．另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
4．公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式．
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x+y)2=x2+y2
（2）(x－y)2=x2－y2
（3）(－x +y)2=x2+2xy+y2
（4）(2x+y)2=4x2+2xy+y2
典例精析
例1：运用完全平方公式计算：
（1）(4m+n)2； （2）
针对训练
利用完全平方公式计算：
（1）(5－a)2； （2）(－3m－4n)2； （3）(－3a＋b)2．例2：运用完全平方公式计算：
（1）1022； （2）992．
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为
能利用完全平方公式的形式．
针对训练
利用乘法公式计算：
（1）982－101×99； （2）20222－2022×4042＋20212．
例3：已知x－y＝6，xy＝－8．求：
（1）x2＋y2的值； （2）(x+y)2的值．
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy．
探究点2：添括号法则
去括号：a+(b+c) = a+b+c，a-(b+c)= a-b–c．
把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则：
a+b+c=a+(b+c)，a–b–c=a–(b+c)．
要点归纳：添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括
到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）．
例4：运用乘法公式计算：
（1）(x+2y－3)(x－2y+3)； （2）(a+b+c)2．
方法总结：第 (1) 小题先用平方差公式进行计算，需要分组，分组方法是“符号相同的为
一组，符号相反的为另一组”； 第 (2) 小题要把其中两项的和看成一个整体，再按照完
全平方公式进行计算.针对训练
计算：（1）(a－b＋c)2； （2）(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
二、课堂小结
当堂检测
1．运用乘法公式计算(a－2)2的结果是（ ）
A．a2－4a+4 B．a2－2a+4 C．a2－4 D．a2－4a－4
2．下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3．运用完全平方公式计算：
（1）(6a+5b)2=_______________； （2）(4x－3y)2=_______________；
（3）(2m－1)2 = ； （4）(－2m－1)2 =______________．
4．由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：
4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
5．计算：
（1）(3a＋b－2)(3a－b＋2)； （2）(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
6．若a+b=5，ab=－6，求a2+b2，a2－ab+b2．
7．已知x+y=8，x－y=4，运用完全平方公式求xy．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．（1）11 （2）－3 （3）a＋b＋c （4）a－b＋c
2．正号 不变号 负号 变号
3．（1）x2+2x+1 （2）x2-2x+1 （3）m2+2mn+n2 （4）m2-2mn+n2
）
课堂探究
一、要点探究
探究点1：完全平方公式
问题1 （1）p2+2p+1 （2）m2+4m+4 （3）p2-2p+1 （4）m2-4m+4
问题2 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
要点归纳 a 2ab b a 2ab b 平方和 2倍
问题3 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
想一想 解：（1）× (x+y)2=x2+2xy+y2
（2）× (x－y)2=x2－2xy+y2
（3）× (－x +y)2=x2－2xy+y2
（4）× (2x+y)2=4x2+4xy+y2
典例精析
例1 解：（1）(4m+n)2=(4m)2+2•(4m) •n+n2=16m2+8mn+n2.
（2）
针对训练
解：（1）(5－a)2＝25－10a＋a2.
（2）(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
（3）(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
例2 （1）1022= (100+2)2=10000+400+4=10404.
（2）992= (100 –1)2=10000 -200+1=9801．
针对训练
解：（1）原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
（2）原式＝20222－2×2022×2021＋20212＝(2022－2021)2＝1．
例3 解：（1）∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20.
（2）∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4．
探究点2：添括号法则
例4 解：（1）原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]= x2-(2y-3)2= x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9；
（2）原式= [(a+b)+c]2= (a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2．
针对训练
解：（1）原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
（2）原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)2＝1－4x2＋4xy－y2．
当堂检测
1．A 2．D
3．（1）36a2+60ab+25b2 （2）16x2-24xy+9y2 （3）4m2-4m+1 （4）4m2+4m+14．25
5．解：（1）原式＝[3a+(b-2)][3a-(b-2)]＝(3a)2-(b-2)2＝9a2-b2+4b-4.
（2）原式＝[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]＝(x-y)2-(m-n)2＝x2-2xy+y2-m2+2mn-n2．
6．解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43．
7．解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①．
∵x-y=4，∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②．
由①-②得4xy=48，∴xy=12．
