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15.2.2 分式的加减
同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：
.
注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括
号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
题型1：同分母的分式相加减
1.计算.
2 4 1
（1） - - ;
ab ab ab
x2 y2
（2） - ;
x+ y x+ y
2-4-1 3
【答案】（1）解：原式= = -
ab ab
x2- y2 (x+ y)(x- y)
（2）解：原式= = =x- y
x+ y x+ y
【解析】【分析】（1）根据同分母分式的减法运算整理可得结果；
（2）根据同分母分式的减法进行运算，分解分子进行约分可得结果.
【变式1-1】计算：（1） ； （2） ；（3） ； （4）
【答案】
解：（1） ；
（2）
（3） ；
（4）
.
【总结】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简．
异分母分式的加减 注意：（1）异分母的分式
相加减，先通分是关键.通
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加
分后，异分母的分式加减
法变成同分母分式的加减
减.上述法则可用式子表为： .
法.
（2）异分母分式加减法的
一般步骤：①通分，②进
行同分母分式的加减运
算，③把结果化成最简分
式.
题型2：异分母的分式相加减
a 1
-
2.计算：（1） ．
a2-ab a+b
a 1
【答案】解：原式= -
a（a-b） a+b
1 1
= -
a-b a+b
a+b a-b
= -
(a-b)(a+b) (a-b)(a+b)
a+b-a+b
=
(a-b)(a+b)2b
= .
a2-b2
【解析】【分析】先通分，再计算即可。
2 1
-
（2）化简： ．
x2+2x x
2 1
-
【答案】解： ，
x2+2x x
2 (x+2)
= - ，
x(x+2) x(x+2)
2-(x+2)
= ，
x(x+2)
-x
= ，
x(x+2)
1
=- ．
x+2
【解析】【分析】先通分，再利用分式的减法计算即可。
x2-4 1-2x+x2
（3） - .
x2-2x x2-x
(x+2)(x-2) (x-1) 2
解：原式= -
x(x-2) x(x-1)
x+2 x-1
= -
x x
x+2-x+1
=
x
3
= .
x
【变式2-1】（1） ；（2） ；（3） ．
【点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为 ；（2）题是异分母分
式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将
分母因式分解；（3）题是分式 与 即 的和，可将整式部分当成一
个整体，且分母为1，使运算简化．
【答案】
解：（1）原式 ；
（2）原式；
（3）原式 ．
【总结】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减
时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．
【变式2-2】计算：（1） ；（2） .
【答案】
解：（1）
．
（2）
.
分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先
算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括
号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或
整式.
注意：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正
确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活
运用运算律，将大大提高运算速度.
题型3：分式的混合运算
x-2 x2-4x+4 1
3.计算（1） ÷ +
x2+x x+1 x
x-2 x2-4x+4 1
解： ÷ +
x2+x x+1 x
x-2 x+1 1
= ⋅ +
x(x+1) (x-2) 2 x
1 x-2
= +
x(x-2) x(x-2)
x-1
= ．
x(x-2)x+1 x x+1
（2）( + )÷
x2-1 x-1 x2-2x+1
1 1 x2+1
解： + -
x+1 x-1 x2-1
x-1 x+1 x2+1
= + -
(x-1)(x+1) (x-1)(x+1) (x-1)(x+1)
-(x-1) 2
= ，
(x-1)(x+1)
x-1
=- ；
x+1
a-2 3a
（3） ÷ （a - ）.
1+2a+a2 a+1
a-2 3a
解： ÷(a- )
1+2a+a2 a+1
a-2 a2+a-3a
= ÷
(a+1) 2 a+1
a-2 a+1
= ⋅
(a+1) 2 a(a-2)
1
= .
a(a+1)
【变式3-1】计算：（1） ； （ 2 ）
．
【答案】
解：（1）
．
（2）．
【变式3-2】 （1） ；
（2） ．
【答案】
解：（1）原式
．
（2）原式
零指数幂 注意：同底数幂的除法法
则可以推广到整数指数幂.即
任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即
（ ， 、
.
为整数）当 时，得到
.
负整数指数幂
注意： 是 的倒
任何不等于零的数的 （ 为正整数）次幂，
数， 可以是不等于0的数，也
可以是不等于0的代数式.例如
等于这个数的 次幂的倒数，即 （ ≠0，
是正整数）.
（ ） ，
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围
已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍
然成立. （）.
题型4：整数指数幂与计算
1
4.计算：（1）20210+（ ）﹣1．
3
1
【答案】解：20210+（ ）﹣1
3
＝1+3
＝4．
1 -2
（2）(π-2022) 0-(- ) ．
2
【答案】解：原式＝1﹣4
＝﹣3
【解析】【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
2 2
【变式4-1】计算： (-1) 2022+( ) -(π-3.14) 0-3-2
3
4 1
【答案】解：原式 =1+ -1-
9 9
1
= .
3
【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、0次幂的性质及负整数指数幂的法
则，先算乘方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
【变式4-2】计算：
1 -1
（1）5√2-√18-3×(-2019) 0+( )
3
解：原式= 5√2-3√2-3×1+3=2√2
1
（2）-12020+（3.14-π）0-（- ）-2
2
1
解：-12020+（3.14-π）0-（- ）-2
2
=-1+1-4
=-4
科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中 是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 的形式，其中 是正
整数， .用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
题型5：用科学计数法表示小数
5.新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（
）
A．9.07×10-10 B．9.07×10-11 C．9.07×10-8 D．9.07×10-7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000907=9.07×10-7．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式 5-1】用科学记数法表示：-3105000= ，；0.000305=
。
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：-3105000=-3.105×106．
0.000305=3.05×10-4．
故答案为：-3.105×106；3.05×10-4．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式5-2】人体红细胞与我们的生命活动息息相关，是通过血液运送氧气的最主要
的媒介．红细胞的直径约为0.00000767米，请把数0.00000767用科学记数法表示为
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000767=7.67×10-6．
故答案为：7.67×10-6．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
题型6：分式化简求值-直接代入
3 x2 1
6.已知x＝- ，对代数式 + 先化简，再求值.
2 x-1 1-x
x2 1
【答案】解：原式＝ -
x-1 x-1x2-1
＝
x-1
(x-1)(x+1)
＝
x-1
＝x+1，
3 1
当x＝- 时，原式＝- .
2 2
x2 1
【解析】【分析】待求式可变形为 - ，然后根据同分母分式减法法则对其
x-1 x-1
进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
x+3 5
【变式6-1】先化简，再求值： ÷(x+2- )，其中x=2
x-2 x-2
x+3 (x+2)(x-2)-5
【答案】解：原式＝ ÷
x-2 x-2
x+3 x-2
= ⋅
x-2 x2-9
x+3 x-2
= ⋅
x-2 (x+3)(x-3)
1
= ；
x-3
1
当x=2时，原式= =-1
2-3
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为
乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
1 1 x 1
【变式6-2】先化简，再求值：( - )÷ ，其中x= ．
x-1 x+1 2x2-2 2
x+1 x-1 x
【答案】解：原式=[ - ]÷
(x-1)(x+1) (x+1)(x-1) 2(x+1)(x-1)
2 2(x+1)(x-1)
= ×
(x-1)(x+1) x
4
=
x
4
1 = =8
当x= 时，原式 1 ．
2
2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
题型7：分式化简求值-整体代入3 x-2
7.已知x2+2x-5=0，求代数式(x+1- )÷ 的值．
x-1 x2-x
3 x-2
【答案】解：(x+1- )÷
x-1 x2-x
(x+1)(x-1) 3 x-2
=[ - ]÷ ，
x-1 x-1 x2-x
x2-1-3 x-2
= ÷ ，
x-1 x2-x
x2-4 x-2
= ÷ ，
x-1 x2-x
(x+2)(x-2) x(x-1)
= ⋅ ，
x-1 x-2
=(x+2)x，
=x2+2x．
当x2+2x-5=0时，x2+2x=5，
∴原式=5．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 x2+2x=5， 最后代入计算求解即可。
5 m-3
【变式7-1】已知m2+3m-4=0，求代数式(m+2- )÷ 的值.
m-2 m2-2m
5 m-3
【答案】解：(m+2- )÷ ，
m-2 m2-2m
(m+2)(m-2) 5 m-3
=( - )÷ ，
m-2 m-2 m2-2m
m2-4-5 m(m-2)
= · ，
m-2 m-3
m2-9 m(m-2)
= · ，
m-2 m-3
(m+3)(m-3) m(m-2)
= · ，
m-2 m-3
=m(m+3)，
∵m2+3m-4=0
∴m2+3m=4
∴原式=m(m+3)=m2+3m=4
【解析】【分析】先化简分式，再根据 m2+3m-4=0， 计算求解即可。3m2 2m-1
【变式7-2】已知 m2-m-1=0 ，求 ⋅(m- ) 的值．
m-1 m
3m2 2m-1
【答案】解： ⋅(m- )
m-1 m
3m2 m2 2m-1
= ⋅( - )
m-1 m m
3m2 m2-2m+1
= ⋅
m-1 m
3m2 (m-1) 2
= ⋅
m-1 m
=3m(m-1)
=3(m2-m) ，
由已知m2−m−1=0得：m2−m=1，
∴原式=3 × 1=3
【解析】【分析】先化简分式，再求出 m2−m=1， 最后代入计算求解即可。
题型8：分式化简求值-选值代入
a2+2a+1 1 a2+2a
8.先化简分式( - )÷ ，再从－2，－1，1，√2这4个数中选
a2-1 1-a a-1
择一个合适的数作为a的值代入求值．
(a+1) 2 1 a-1
【答案】解：原式=[ + ]×
(a+1)(a-1) a-1 a2+2a
a+1 1 a-1
=( + )×
a-1 a-1 a(a+2)
a+2 a-1
= ×
a-1 a(a+2)
1
=
a
根据分式有意义的条件，a≠-2且a≠-1且a≠1，且a≠0，
1 √2
所以当a=√2时，原式= =
√2 2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
x+1 x2+x
【变式8-1】先化简 ÷(1+ ) ，再从 -1-1，
∴不等式组的解集为-1-1
12．先化简，再求值： -x-1 ÷ ．其中x为不等式组
x-1 x2-2x+1 3(x+1)≤x+7
的整数解．
x2+x (x+1)(x-1) x2(x+1)
【答案】解：原式=[ ﹣ ]÷
x-1 x-1 (x-1) 2
x2+x-x2+1 (x-1) 2
= •
x-1 x2(x+1)
x+1 (x-1) 2
= •
x-1 x2(x+1)
x-1
= ，
x2
解不等式 ，
由①得，x＞﹣1；
由②得，x≤2；
则不等式的解集为﹣1＜x≤2，
其整数解为0，1，2；
当x=0或x=1时，使得原式及解答过程中的分式分母为0，故x=2；
2-1 1
当x=2时，原式= = ．
22 4
【解析】【分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得
到分式化简的结果，再求出不等式组的整数解，将其代入解析式即可解答．
3 a2-4a+4 1 -2
13．先化简，再求值： (a-1- )÷ ，其中 a=(π-2021) 0-( ) ．
a+1 a+1 2
(a-1)(a+1) 3 a+1
【答案】解：原式 =[ - ]⋅
a+1 a+1 (a-2) 2
a2-4 a+1
= ⋅
a+1 (a-2) 2
(a+2)(a-2) a+1
= ⋅
a+1 (a-2) 2
a+2
=
a-21 -2
∵a=(π-2021) 0-( ) =1-4=-3
2
∴当 a=-3 时，
1
原式 = ．
5
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
m n √3mn
14．已知 A=( - )⋅
n m m-n
（1）化简A；
（2）若 m+n-2√3=0 ，求A的值．
m2 n2 √3mn
【答案】（1）解： A=( - )⋅
mn nm m-n
(m+n)(m-n) √3mn
= ⋅
mn m-n
=√3(m+n)
（2）解：∵m+n-2√3=0 ，
∴m+n=2√3 ，
∴A=√3(m+n)
=√3×2√3
=6
【解析】【分析】（1）利用分式的基本性质化简求值即可；
（2）先求出 m+n=2√3 ， 再代入计算求解即可。
