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15.2.2 分式的加减
同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：
.
注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括
号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
题型1：同分母的分式相加减
1.计算.
2 4 1
（1） - - ;
ab ab ab
x2 y2
（2） - ;
x+ y x+ y
2-4-1 3
【答案】（1）解：原式= = -
ab ab
x2- y2 (x+ y)(x- y)
（2）解：原式= = =x- y
x+ y x+ y
【解析】【分析】（1）根据同分母分式的减法运算整理可得结果；
（2）根据同分母分式的减法进行运算，分解分子进行约分可得结果.
【变式1-1】计算：（1） ； （2） ；（3） ； （4）
【答案】
解：（1） ；
（2）
（3） ；
（4）
.
【总结】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简．
异分母分式的加减 注意：（1）异分母的分式
相加减，先通分是关键.通
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加
分后，异分母的分式加减
法变成同分母分式的加减
减.上述法则可用式子表为： .
法.
（2）异分母分式加减法的
一般步骤：①通分，②进
行同分母分式的加减运
算，③把结果化成最简分
式.
题型2：异分母的分式相加减
a 1
-
2.计算：（1） ．
a2-ab a+b
a 1
【答案】解：原式= -
a（a-b） a+b
1 1
= -
a-b a+b
a+b a-b
= -
(a-b)(a+b) (a-b)(a+b)
a+b-a+b
=
(a-b)(a+b)2b
= .
a2-b2
【解析】【分析】先通分，再计算即可。
2 1
-
（2）化简： ．
x2+2x x
2 1
-
【答案】解： ，
x2+2x x
2 (x+2)
= - ，
x(x+2) x(x+2)
2-(x+2)
= ，
x(x+2)
-x
= ，
x(x+2)
1
=- ．
x+2
【解析】【分析】先通分，再利用分式的减法计算即可。
x2-4 1-2x+x2
（3） - .
x2-2x x2-x
(x+2)(x-2) (x-1) 2
解：原式= -
x(x-2) x(x-1)
x+2 x-1
= -
x x
x+2-x+1
=
x
3
= .
x
【变式2-1】（1） ；（2） ；（3） ．
【点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为 ；（2）题是异分母分
式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将
分母因式分解；（3）题是分式 与 即 的和，可将整式部分当成一
个整体，且分母为1，使运算简化．
【答案】
解：（1）原式 ；
（2）原式；
（3）原式 ．
【总结】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减
时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．
【变式2-2】计算：（1） ；（2） .
【答案】
解：（1）
．
（2）
.
分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先
算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括
号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或
整式.
注意：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正
确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活
运用运算律，将大大提高运算速度.
题型3：分式的混合运算
x-2 x2-4x+4 1
3.计算（1） ÷ +
x2+x x+1 x
x-2 x2-4x+4 1
解： ÷ +
x2+x x+1 x
x-2 x+1 1
= ⋅ +
x(x+1) (x-2) 2 x
1 x-2
= +
x(x-2) x(x-2)
x-1
= ．
x(x-2)x+1 x x+1
（2）( + )÷
x2-1 x-1 x2-2x+1
1 1 x2+1
解： + -
x+1 x-1 x2-1
x-1 x+1 x2+1
= + -
(x-1)(x+1) (x-1)(x+1) (x-1)(x+1)
-(x-1) 2
= ，
(x-1)(x+1)
x-1
=- ；
x+1
a-2 3a
（3） ÷ （a - ）.
1+2a+a2 a+1
a-2 3a
解： ÷(a- )
1+2a+a2 a+1
a-2 a2+a-3a
= ÷
(a+1) 2 a+1
a-2 a+1
= ⋅
(a+1) 2 a(a-2)
1
= .
a(a+1)
【变式3-1】计算：（1） ； （ 2 ）
．
【答案】
解：（1）
．
（2）．
【变式3-2】 （1） ；
（2） ．
【答案】
解：（1）原式
．
（2）原式
零指数幂 注意：同底数幂的除法法
则可以推广到整数指数幂.即
任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即
（ ， 、
.
为整数）当 时，得到
.
负整数指数幂
注意： 是 的倒
任何不等于零的数的 （ 为正整数）次幂，
数， 可以是不等于0的数，也
可以是不等于0的代数式.例如
等于这个数的 次幂的倒数，即 （ ≠0，
是正整数）.
（ ） ，
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围
已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍
然成立. （）.
题型4：整数指数幂与计算
1
4.计算：（1）20210+（ ）﹣1．
3
1
【答案】解：20210+（ ）﹣1
3
＝1+3
＝4．
1 -2
（2）(π-2022) 0-(- ) ．
2
【答案】解：原式＝1﹣4
＝﹣3
【解析】【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
2 2
【变式4-1】计算： (-1) 2022+( ) -(π-3.14) 0-3-2
3
4 1
【答案】解：原式 =1+ -1-
9 9
1
= .
3
【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、0次幂的性质及负整数指数幂的法
则，先算乘方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
【变式4-2】计算：
1 -1
（1）5√2-√18-3×(-2019) 0+( )
3
解：原式= 5√2-3√2-3×1+3=2√2
1
（2）-12020+（3.14-π）0-（- ）-2
2
1
解：-12020+（3.14-π）0-（- ）-2
2
=-1+1-4
=-4
科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中 是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 的形式，其中 是正
整数， .用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
题型5：用科学计数法表示小数
5.新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（
）
A．9.07×10-10 B．9.07×10-11 C．9.07×10-8 D．9.07×10-7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000907=9.07×10-7．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式 5-1】用科学记数法表示：-3105000= ，；0.000305=
。
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：-3105000=-3.105×106．
0.000305=3.05×10-4．
故答案为：-3.105×106；3.05×10-4．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式5-2】人体红细胞与我们的生命活动息息相关，是通过血液运送氧气的最主要
的媒介．红细胞的直径约为0.00000767米，请把数0.00000767用科学记数法表示为
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000767=7.67×10-6．
故答案为：7.67×10-6．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
题型6：分式化简求值-直接代入
3 x2 1
6.已知x＝- ，对代数式 + 先化简，再求值.
2 x-1 1-x
x2 1
【答案】解：原式＝ -
x-1 x-1x2-1
＝
x-1
(x-1)(x+1)
＝
x-1
＝x+1，
3 1
当x＝- 时，原式＝- .
2 2
x2 1
【解析】【分析】待求式可变形为 - ，然后根据同分母分式减法法则对其
x-1 x-1
进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
x+3 5
【变式6-1】先化简，再求值： ÷(x+2- )，其中x=2
x-2 x-2
x+3 (x+2)(x-2)-5
【答案】解：原式＝ ÷
x-2 x-2
x+3 x-2
= ⋅
x-2 x2-9
x+3 x-2
= ⋅
x-2 (x+3)(x-3)
1
= ；
x-3
1
当x=2时，原式= =-1
2-3
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为
乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
1 1 x 1
【变式6-2】先化简，再求值：( - )÷ ，其中x= ．
x-1 x+1 2x2-2 2
x+1 x-1 x
【答案】解：原式=[ - ]÷
(x-1)(x+1) (x+1)(x-1) 2(x+1)(x-1)
2 2(x+1)(x-1)
= ×
(x-1)(x+1) x
4
=
x
4
1 = =8
当x= 时，原式 1 ．
2
2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
题型7：分式化简求值-整体代入3 x-2
7.已知x2+2x-5=0，求代数式(x+1- )÷ 的值．
x-1 x2-x
3 x-2
【答案】解：(x+1- )÷
x-1 x2-x
(x+1)(x-1) 3 x-2
=[ - ]÷ ，
x-1 x-1 x2-x
x2-1-3 x-2
= ÷ ，
x-1 x2-x
x2-4 x-2
= ÷ ，
x-1 x2-x
(x+2)(x-2) x(x-1)
= ⋅ ，
x-1 x-2
=(x+2)x，
=x2+2x．
当x2+2x-5=0时，x2+2x=5，
∴原式=5．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 x2+2x=5， 最后代入计算求解即可。
5 m-3
【变式7-1】已知m2+3m-4=0，求代数式(m+2- )÷ 的值.
m-2 m2-2m
5 m-3
【答案】解：(m+2- )÷ ，
m-2 m2-2m
(m+2)(m-2) 5 m-3
=( - )÷ ，
m-2 m-2 m2-2m
m2-4-5 m(m-2)
= · ，
m-2 m-3
m2-9 m(m-2)
= · ，
m-2 m-3
(m+3)(m-3) m(m-2)
= · ，
m-2 m-3
=m(m+3)，
∵m2+3m-4=0
∴m2+3m=4
∴原式=m(m+3)=m2+3m=4
【解析】【分析】先化简分式，再根据 m2+3m-4=0， 计算求解即可。3m2 2m-1
【变式7-2】已知 m2-m-1=0 ，求 ⋅(m- ) 的值．
m-1 m
3m2 2m-1
【答案】解： ⋅(m- )
m-1 m
3m2 m2 2m-1
= ⋅( - )
m-1 m m
3m2 m2-2m+1
= ⋅
m-1 m
3m2 (m-1) 2
= ⋅
m-1 m
=3m(m-1)
=3(m2-m) ，
由已知m2−m−1=0得：m2−m=1，
∴原式=3 × 1=3
【解析】【分析】先化简分式，再求出 m2−m=1， 最后代入计算求解即可。
题型8：分式化简求值-选值代入
a2+2a+1 1 a2+2a
8.先化简分式( - )÷ ，再从－2，－1，1，√2这4个数中选
a2-1 1-a a-1
择一个合适的数作为a的值代入求值．
(a+1) 2 1 a-1
【答案】解：原式=[ + ]×
(a+1)(a-1) a-1 a2+2a
a+1 1 a-1
=( + )×
a-1 a-1 a(a+2)
a+2 a-1
= ×
a-1 a(a+2)
1
=
a
根据分式有意义的条件，a≠-2且a≠-1且a≠1，且a≠0，
1 √2
所以当a=√2时，原式= =
√2 2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
x+1 x2+x
【变式8-1】先化简 ÷(1+ ) ，再从 -1<x<2 的范围内选取一个合适的
1-x 1-x2
整数代入求值.
x+1 x2+x
【答案】解： ÷(1+ )
1-x 1-x2x+1 1-x2 x2+x
= ÷( + )
1-x 1-x2 1-x2
x+1 1+x
= ÷
1-x 1-x2
x+1 (1-x)(1+x)
= ×
1-x 1+x
=x+1
因为 -1<x<2 且x是整数且 x≠1 和 -1 ，所以 x=0 ，
当 x=0 时，原式 =0+1=1
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，然后将各个分式的分子、
分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简，最后再
从 -1<x<2 的范围内选取一个使分式有意义的整数值代入计算即可.
3 x-2 {x-3(x-2)≥2
【变式8-2】化简：( -x-1)÷ ，并从不等式组 的解集
x-1 x2-2x+1 4x-2<5x-1
中选择一个合适的整数解代入求值．
3 x-2
【答案】解：( -x-1)÷
x-1 x2-2x+1
3-(x+1)(x-1) x-2
= ÷
x-1 (x-1) 2
3-(x2-1) (x-1) 2
= ⋅
x-1 x-2
4-x2 (x-1) 2
= ⋅
x-1 x-2
(2+x)(2-x) (x-1) 2
= ⋅
x-1 x-2
=-(2+x)(x-1)
=-(x2+2x-x-2)
=-x❑-x+2，
2
{x-3(x-2)≥2①
4x-2<5x-1②
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>-1，
∴不等式组的解集为-1<x≤2，
∴不等式组的整数解为0，1，2，
∵分式要有意义，{x-1≠0
∴ ，
x-2≠0
∴x≠1且x≠2，
∴满足题意的整数x的值是0，
∴当x=0，原式=2．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 不等式组的整数解为0，1，2， 最后计算求
解即可。
题型9：分式混合运算的实际应用
9.如图，A种小麦试验田是边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水
池后余下的部分；B种小麦试验田是边长为 （a+b）的正方形．
（1）设两块试验田都收获了m（kg）小麦，求A，B两种小麦单位面积产量的比．
（2）当a=2b时，A，B两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若A，B两种小麦单位面积产量相同，求a,b满足的关系式．
【分析】（1）分别表示出两个阴影部分面积，根据收获的小麦重量求出各自的单位
面积产量，进而求出之比即可；
（2）把a=2b代入比较大小即可；
（3）根据两种小麦单位面积产量相同，确定出a与b的关系式即可．
【解答】解：（1）根据题意得：A种小麦： ，B种小麦： ，
则A，B两种小麦单位面积产量的比为
；
（2）把a=2b代入得： ，
，
∴B种小麦单位产量较大；（3）根据题意得：
，
整理得：4a2-4b2=4（a+b）（a-b）=（a+b）2，
∵a＞b,∴a-b≠0，
∴4（a-b）=a+b,
整理得：3a=5b.
【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
【变式9-1】“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米
（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的
试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．
（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【分析】（1）分别计算出两种水稻的单位面积产量，再比较那种的水稻的产量高；
（2）利用分式的除法法则计算即可．
【解答】解：（1）“水稻1号”试验田的面积是（a2-1）米2，单位面积产量是 千
克/米2；
“水稻2号”试验田的面积是（a-1）2米2，单位面积产量是 千克/米2；
∵a＞1，
∴（a-1）2＞0，a2-1＞0．
∵a2-1-（a-1）2=2a-2=2（a-1）＞0，
∴a2-1＞（a-1）2．
∴
所以，“水稻2号”的单位面积产量高．所以，“水稻2号”的单位面积产量是“水稻1号”的单位面积产量的 倍．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式除法的运算法则和分式比较大小
的方法是解决本题的关键．
题型10：探究类题型-新定义问题
10.定义新运算：a+b= ，若a⊕（-b）=4，则 的值是 。
【解答】解：由题意可知： =4，
∴原式=
故答案为：−
【变式10-1】定义运算：a⊗b＝ ，比如2⊗3＝ ．下面给出了关于这种运
算的几个结论：
①2⊗(−3)＝ ；
②此运算中的字母a,b均不能取零；
③a⊗b=b⊗a；
④a⊗（b+c）=a⊗b+a⊗c.
其中正确的是 ．（把所有正确结论都写在横线上）
【分析】利用题中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．
【解答】解：∵2⊗（-3）= ，∴①正确；
∵a⊗b= ，
∴a≠0且b≠0，
∴②正确；
∵b⊗a= ，a⊗b=∴a⊗b=b⊗a,
∴③正确；
∵a⊗（b+c）= ，a⊗b+a⊗c= ，
∴④不一定正确．
故答案为：①②③
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式 10-2】对 于 任 意 非 零 实 数 a,b, 定 义 运 算 “ ☆ ” 如 下 ： a☆b= ， 则
2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010=
根据题中的新定义将所求式子变形，拆项抵消后即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010
题型11：探究类题型-条件形变求值
a+b b+c a+c
11.已知实数a、b、c满足 = = ；
c a b
(a+b)(b+c)(a+c)
计算： .
abc
a+b b+c a+c
【答案】解：设 = = =k，则
c a b
b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
当a+b+c≠0，则k=2，
(a+b)(b+c)(a+c) kc·ka·kb
∴ = =k3=8；
abc abc
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
(a+b)(b+c)(a+c) (-a)(-b)(-c)
∴ = =-1．
abc abc
a+b b+c a+c
【解析】【分析】先设 = = =k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，
c a b
a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k
的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．
【变式11-1】比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简
a b 1 1
化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P= + ，Q= + ，比
a+1 b+1 a+1 b+1
较P、Q的大小．
a b a(b+1)+b(a+1) 2ab+a+b a+b+2
【答案】解：P= + = = = ，Q=
a+1 b+1 (a+1)(b+1) (a+1)(b+1) (a+1)(b+1)
1 1 a+b+2
+ = ，则P=Q．
a+1 b+1 (a+1)(b+1)
【解析】【分析】首先把P和Q通分相加，把ab=1代入，然后进行比较即可．
a+b-c a-b+c
【变式11-2】已知a、b、c均为非零的实数，且满足 = =
c b
-a+b+c (a+b)(b+c)(c+a)
，求 的值．
a abc
a+b-c
【答案】解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得： =
c
a-b+c -a+b+c a+b-c+a-b+c-a+b+c a+b+c
= = = =1，即a+b﹣
b a a+b+c a+b+c
c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此时原式=
8abc
=8；当a+b+c=0时，可得：a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，则原式=
abc
(-c)(-a)(-b) (a+b)(b+c)(c+a)
=﹣1．综上可知， 的值为8或﹣1
abc abc
【解析】【分析】根据比例的等比性质进行解答，分情况进行讨论，共有 a+b+c≠0
和a+b+c=0两种情况，对分式进行通分和约分，求出最终的值即可。
一、单选题
x2 x
1．化简 - 的结果是（ ）
x-1 x-1
A．x+1 B．x﹣1 C．x D．﹣x
【答案】C
x(x-1)
【解析】【解答】解：原式＝ ＝x，
x-1
故答案为：C
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果2a+b 1 a
2．若a+2b＝0，则分式（ + ）÷ 的值为（ ）
a2-ab a a2-b2
3 9 3b
A． B． C．﹣ D．﹣3b
2 2 2
【答案】A
2a+b a-b a
【解析】【解答】解：原式＝[ + ]÷
a(a-b) a(a-b) (a+b)(a-b)
3a (a+b)(a-b)
＝ •
a(a-b) a
3a+3b
＝ ，
a
∵a+2b＝0，
∴a＝﹣2b，
3×(-2b)+3b 3
∴原式＝ ＝ ．
-2b 2
故答案为：A．
【分析】先对括号内的分式进行通分，并将除法转化为乘法运算，然后将各分子、分
母中能因式分解的进行因式分解，最后约分即可将式子化简，根据已知可得a=-2b，将
其代入化简后的式子计算即可.
4 1
3．化简 + 的结果是（ ）
x2-4 x+2
1 1 2
A．x﹣2 B． C． D．
x+2 x-2 x+2
【答案】C
4 1
【解析】【解答】解： +
x2-4 x+2
4 x-2
＝ +
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
2+x
＝
(x+2)(x-2)
1
＝ ；
x-2
故答案为C．
【分析】先把分母因式分解，再通分，然后进行计算，最后约分即可解答．
5x+1 A 11
4．已知 = + ，则A的取值是（ ）
(x-1)(x-2) x-1 x-2
A．-3 B．3 C．-6 D．6【答案】C
5x+1 A 11
【解析】【解答】 = + ，
(x-1)(x-2) x-1 x-2
5x+1 A(x-2)+11(x-1)
= ，
(x-1)(x-2) (x-1)(x-2)
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故答案为：C.
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等
的条件即可求出a的值.
a2+2ab+b2 b
5．化简 ﹣ 的结果是（ ）
a2-b2 a-b
a b a b
A． B． C． D．
a-b a-b a+b a+b
【答案】A
(a+b) 2 b a+b b a+b-b a
【解析】【解答】原式= ﹣ = ﹣ = = ，故选A．
(a-b)(a+b) a-b a-b a-b a-b a-b
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
二、填空题
2x 1
-
6． 计算 的结果是 .
x2-9 x-3
1
【答案】
x+3
2x x+3 x-3 1
【解析】【解答】解：原式= - = = .
(x+3)(x-3) (x+3)(x-3) (x+3)(x-3) x+3
1
故答案为： .
x+3
【分析】对原式进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算.
b a
7．计算 ÷（1﹣ ）的结果是 ．
a2-b2 a+b
1
【答案】
a-b
b a+b-a b a+b 1
【解析】【解答】原式= ÷ = • = ，
(a+b)(a-b) a+b (a+b)(a-b) b a-b
1
故答案为： ．
a-b
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
2 x+2
8．如果 x2+x-5=0 ，那么代数式 (1+ )÷ 的值是 ．
x x3+x2
【答案】5
【解析】【解答】当 x2+x=5 时，
x+2 x2 (x+1)
∴原式 = ×
x x+2
=x2+x
=5
故答案为：5
【分析】先将原式化简，然后将 x2+x=5 代入即可求答案．
1 1
9．若 a+b=3 ， ab=1 ，则 + 的值是 ．
a b
【答案】3
1 1 a+b
【解析】【解答】解： + =
a b ab
将 a+b=3 ， ab=1 代入，得
3
原式= =3
1
故答案为：3．
【分析】先将分式通分、相加，然后利用整体代入法求值即可．
三、解答题
1 x-2
10．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作
x+1 x+1
为x值代入．
x x+1 x 3
【答案】解：原式= • = ，当x=3时，原式= =3．
x+1 x-2 x-2 3-2
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代
入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此
题的关键．
1 x
11．先化简，再求值： (1+ )÷ ，其中 x=√3-1 ．
x-1 x2-1
1 x x-1 1 x
【答案】(1+ )÷ =( + )÷
x-1 x2-1 x-1 x-1 (x+1)(x-1)
x (x+1)(x-1)
= ⋅ =x+1 ；
x-1 x
当 x=√3-1 时，原式 =√3-1+1=√3 ．【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计
算即可．
(x2+x ) x3+x2 { x>-1
12．先化简，再求值： -x-1 ÷ ．其中x为不等式组
x-1 x2-2x+1 3(x+1)≤x+7
的整数解．
x2+x (x+1)(x-1) x2(x+1)
【答案】解：原式=[ ﹣ ]÷
x-1 x-1 (x-1) 2
x2+x-x2+1 (x-1) 2
= •
x-1 x2(x+1)
x+1 (x-1) 2
= •
x-1 x2(x+1)
x-1
= ，
x2
解不等式 ，
由①得，x＞﹣1；
由②得，x≤2；
则不等式的解集为﹣1＜x≤2，
其整数解为0，1，2；
当x=0或x=1时，使得原式及解答过程中的分式分母为0，故x=2；
2-1 1
当x=2时，原式= = ．
22 4
【解析】【分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得
到分式化简的结果，再求出不等式组的整数解，将其代入解析式即可解答．
3 a2-4a+4 1 -2
13．先化简，再求值： (a-1- )÷ ，其中 a=(π-2021) 0-( ) ．
a+1 a+1 2
(a-1)(a+1) 3 a+1
【答案】解：原式 =[ - ]⋅
a+1 a+1 (a-2) 2
a2-4 a+1
= ⋅
a+1 (a-2) 2
(a+2)(a-2) a+1
= ⋅
a+1 (a-2) 2
a+2
=
a-21 -2
∵a=(π-2021) 0-( ) =1-4=-3
2
∴当 a=-3 时，
1
原式 = ．
5
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
m n √3mn
14．已知 A=( - )⋅
n m m-n
（1）化简A；
（2）若 m+n-2√3=0 ，求A的值．
m2 n2 √3mn
【答案】（1）解： A=( - )⋅
mn nm m-n
(m+n)(m-n) √3mn
= ⋅
mn m-n
=√3(m+n)
（2）解：∵m+n-2√3=0 ，
∴m+n=2√3 ，
∴A=√3(m+n)
=√3×2√3
=6
【解析】【分析】（1）利用分式的基本性质化简求值即可；
（2）先求出 m+n=2√3 ， 再代入计算求解即可。
