文档内容
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第2课时 分式方程的应用
学习目标：1．理解实际问题中的数量关系．
2．在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题．
重点：能通过列分式方程解决实际问题．
难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程．
自主学习
一、知识链接
1．解方程：
2．列方程（组）解应用题的关键是什么？
二、新知预习
3．完成下面解题过程：
小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同．已知两人每
分钟录入计算机字数的和是220字．两人每分钟各录入多少字？
（1）请找出上述问题中的等量关系；
答：__________________________________________．
（2）试列出方程，并求方程的解；
解：设小红每分钟录入x字，则小丽每分钟录入______字．
根据题意，得_________________________．
解这个方程得________________．
经检验，__________________________．
答：_____________________________________________________________．
要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；
第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；
第五步，作答．三、自学自测
4．八年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的
全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的 1.2倍，结果提前20分钟完成
任务．则下面所列方程中，正确的是( )
A．－＝ B．－＝20
C．－＝ D．＝－
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
课堂探究
一、要点探究
探究点1：列分式方程解决工程问题
典例精析
例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，
这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：设乙单独完成这项工程需要x天．表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量
甲队
乙队
等量关系：
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量
甲队
乙队
要点归纳：工程问题：
1．题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2．通常间接设元，如××单独完成需x(单位时间)，则可表示出其工作效率；
3．弄清基本的数量关系．如本题中的“合作的工效=甲、乙两队工作效率的和”；
4．解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工
作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队
合作”；1指该问题中的一个等量关系．如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量
之和=全部工作总量．
针对训练抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人
少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，
余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
方法总结：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，常从工作量和工作时间
上考虑相等关系．
探究点2：列分式方程解决行程问题
例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其
后，他们同时出发，当面包车车行驶了200 km时，发现小轿车车只行驶了180 km，若面
包车的行驶速度比小轿车快10 km/h，请问面包车、小轿车的速度分别为多少？
分析：设小轿车的速度为x km/h．
列表格如下：
路程 速度 时间
面包车
小轿车
等量关系：
针对训练
1．小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面
包车，就马上提速，他们约定好在300 km的地方碰头，正好同时到达，请问小轿车提速
了多少？
2．两车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面包
车，就马上提速，他们约定好在s km的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速
了多少？
路程 速度 时间
面包车
小轿车3．小轿车提速前的平均提速了v km/h，用相同的时间，小轿车提速前行驶s km，提速后
比提速前多行驶50 km，请问小轿车提速了多少？
路程 速度 时间
提速前
提速后
要点归纳：
行程问题
1．注意关键词“提速了”与“提速到”的区别；
2．明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
3．行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程．
列分式方程解应用题的一般步骤：
1．审清题意；2．设未知数； 3．找相等关系；4．列出方程；5．解这个分式方程；
6．验根（包括两方面：（1）是否是分式方程的根；（2）是否符合题意）；7．作答.
探究点3：列分式方程解决利润问题
典例精析
例3：某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千
克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了
10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现
高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
二、课堂小结当堂检测
1．几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，
结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(
)
A．－＝3 B．－＝3 C．－＝3 D．－＝3
2．一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达．已知A、B两地相距80千
米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度．
3．农机厂到距工厂15千米的某村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余
人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两者的速度．
4．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校
后，王老师和李老师编写了一道题，信息如下：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：
2．分析题意，找到等量关系
二、新知预习
3．（1）小红和小丽录入文稿所用的时间相同
（2）(200-x) x=120 x=120是原方程的解，且符合题意 小红每分钟
各录入120字，小丽每分钟录入100字
要点归纳 是否符合题意
三、自学自测
4．A
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：列分式方程解决工程问题
典例精析
例1
工作时间（月） 工作效率 工作总量
甲队
乙队
等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
解：设乙单独完成这项工程需要x个月．记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意
得
，即 ．
解得x=1．
检验：当x=1时，2x≠0，故 x = 1 是原方程的根．
由上可知，乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成
全部任务，所以乙队的施工速度快．
想一想 甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要x天．则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的
工作效率是 ．
工作时间（月） 工作效率 工作总量
甲队 1
乙队
此时方程是：
针对训练
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 解得x＝6．经检验，x＝6是方程的解，且符合题意．∴x＋3＝9．
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
探究点2：列分式方程解决行程问题
例2
路程 速度 时间
面包车 200 x+10
小轿车 180 x
等量关系： 面包车的时间=小轿车的时间
解：设小轿车的速度为x km/h，则面包车速度为(x+10) km/h，依题意得
解得x＝90．经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意．
答：面包车的速度为100 km/h，小轿车的速度为90 km/h．
针对训练
1．解：设小轿车提速为x km/h，依题意得 解得x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：小轿车提速30 km/h．2．
路程 速度 时间
面包车 s-200 100
小轿车 s-180 90+x
解：设小轿车提速为 x
km/h，依题意得 解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：小轿车提速 km/h．
3．
路程 速度 时间
提速前 s v
提速后 s+50 x+v
解：设小轿车提速x km/h， 依题意得
解得
检验： ，且符合题意．
答：小轿车的提速为 km/h．
探究点3：列分式方程解决利润问题
典例精析
例3 解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得 ，解得x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
（2）第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
当堂检测
1．A
2．解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得
方程两边同乘（x－2)(x+2)得80x+160－80x+160=x2－4．解得x=±18．
检验，x=18是原方程的解，且符合题意，x=-18不合题意．
答：船在静水中的速度为18千米/小时．
3．解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度为3x千米/时，依题意得
解得x=15．
经检验，x=15是原方程的根，且符合题意．因此，3x=45．
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时．
4．解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得
解得x＝100．
经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意．则x＋60＝160．
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
