文档内容
19.1.1变量与函数
变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个
变化过程而言的.例如， ，速度60千米/时是常量，时间 和里程 为变量.
题型1：变量与常量
1.圆的周长公式是 C=2πr ，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确
的是（ ）
A．2是常量， B．π 、r是变量
C．2、π是常量， D．r是变量
C.2是常量，r是变量
【变式1-1】设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（ ）
A．当s一定时，v是变量，t是变量
B．当v一定时，t是常量，s是变量
C．当t一定时，t、s是常量，v是变量
D．当t一定时，s是常量，v是变量
【变式1-2】一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（ ）
A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：y
C．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5
【变式1-3】分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S=4πR2；
（2）以固定的速度v 米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t
0
秒之间的关系式是h=v t﹣4.9t2；
0
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关1
系式是h= gt2（其中g取9.8m/s2）；
2
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关
系式是x=1.8W．
题型2：因变量和自变量
2.对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可
以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系
不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．
①②⑤
【变式2-1】某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量
x（千瓦时）之间的关系式为y=0.55x，则下列说法正确的是（ ）
A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量
C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量
【变式2-2】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V
也随之发生变化.在这个变化过程中，常量是 ，自变量是
，因变量是 .
【变式2-3】一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是
测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：
x（g） 0 1 2 3 4 5
y（cm） 18 20 22 24 26 28
（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？
（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加多少厘米？
函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的
值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
注意：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量 的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 允许取的每一个值， 是
否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量 的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量 的
取值范围有时容易忽视，这点应注意.
题型3：函数的概念
3.如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发
现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列
有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函
数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式3-1】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】下列关系式：①x-3x=4；②s=3.5t；③y=-2x；④y=5x-3；⑤C= 2πr；
⑥y2=-2x．其中是函数关系的有( )
A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②
【变式3-3】下列关系中，不是函数的是( )．
x+1
A．y= B．y=-x2+2x
3
C．y=9 √x (x≥0) D．y=±x2
题型4：函数概念与基础图像识别
4.下列图象中， y 不是 x 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图所示图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是
（ ）A． B． C． D．
【变式4-2】下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】下列图形中的曲线不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
注意：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实
数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底
数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
题型5：自变量的取值范围
5.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
1
A．y=2x2中，x取全体实数 B．y= 中，x取x≠-1的实数
x+1
1
C．y=√x-2中，x取x≥2的实数 D．y= 中，x取x≥-3的实
√x-3
数
1
【变式5-1】．函数 y= +(x-2) 0 的自变量 x 的取值范围是（ ）
√x+1
A．x≥-1 B．x>2
C．x>-1 且 x≠2 D．x≠-1 且 x≠2
√2-x
【变式5-2】求函数y= 自变量x的取值范围．
2x-3
【变式5-3】求下列函数中自变量的取值范围．
-5
①y= ②y= √2x-1 ．
2x-1
1
【变式5-4】求下列函数中自变量x的取值范围．y=√x-2+ ；
x-3
函数值
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一
个函数值对应的自变量可以是多个.比如： 中，当函数值为4时，自变量 的值
为±2.
题型6：函数值的定义
6.已知一次函数y＝ax－3，当x＝1时，y＝7，当x＝－2时，求y的值.
5
【变式6-1】当自变量x取何值时，函数y= x+1与y=5x+17的值相等？这个函数
2
值是多少？
【变式6-2】某地海拔高度h与温度T的关系可用T=21-6h来表示(其中温度单位
为℃，海拔高度单位为km)，则该地区某海拔高度为2 000 m的山顶上的温度为 (
)
A．9 ℃ B．7 ℃ C．6 ℃ D．3 ℃
2x-1
【变式6-3】已知函数y= 中，当x=a时的函数值为1，试求a的值．
x+2
【变式6-4】当x=2及x=﹣3时，分别求出下列函数的函数值：
（1）y=（x+1）（x﹣2）；
x+2
（2）y= ．
x-1
题型7：构建简单函数（几何图形）
7.如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围
成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，
并求出自变量的取值范围．【变式7-1】如图，正方形ABCD的边长为2，P为DC上的点（不与C，D点重
合）．设线段DP的长为x，求梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式，并写出自
变量x的取值范围．
【变式7-2】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为
10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最
后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系
式，并指出其中的常量与变量．
【变式7-3】圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的
体积V（cm3）随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？
（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？
（4）当h=7cm时，v的值等于多少？题型8：构建记得函数（实际问题）
8.物体从高处自由下落的高度h(m)与物体下落的时间t(s)之间的函数关系式是：h
1
＝ gt2(g表示重力加速度，g取9.8m/s2)．某人发现头顶上空490m处有一炸弹自
2
由下落，其地面杀伤半径为50m，此人发现后，立即以6m/s的速度逃离，那么此人
有无危险？
【变式8-1】为了增强居民的节水意识，某城区水价执行“阶梯式”计费，每月应缴
水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示．若某用户去年5月缴水费18.05
元，求该用户当月用水量．
【变式8-2】希望中学学生从2021年12月份开始每周喝营养牛奶，单价为2元/盒，
总价y元随营养牛奶盒数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出
表示函数与自变量关系的式子．
【变式8-3】一根80厘米的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么在正常情况
下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米
（1）写出弹簧总长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的数量关系．（2）若在这根弹簧上挂上某一物体后，弹簧总长为96厘米，求所挂物体的质
量？
