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第十九章 一次函数
第2课时19.1.1 变量与函数
一、温故知新（导）
1、什么是变量，什么是常量？
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量；数值始终不变的量为常量.
2、在上节课四个问题中，是否每个问题中都有两个变量？同一个问题中的变量之间又有什么联系？
这些是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1.理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数.
2.确的函数中自变量的取值范围，注意问题的实际意义.
学习重难点
重点：会判断两个变量是否具有函数关系；
难点：根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．
二、自我挑战（思）
1、上节课问题一～四中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？
（1）在问题一中，观察填出的表格，可以发现： t 和 s 是两个变量，每当t取定一个值时，s
就
有唯一确定的值与其对应.例如：t=1，则s=60；t=2，则s=120；……；t=5，则s=300.
（2）在问题二中，可以发现： x 和 y 是两个变量，每当x取定一个值时，y 就有唯一确定的
值与其对应.例如：若x=150，则y=1500；若x=205，则y=2050；若x=310，则y=3100..
（3）在问题三中，可以发现： r 和 s 是两个变量，每当 r 取定一个值时， s 就有唯一确
定的值与其对应.它们的关系式为： s= πr2 .据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，
s分别为 10 0π cm 2 、 400 π cm 2 、 400 π cm 2 .
（4）在问题四中，可以发现： x 和 y 是两个变量，每当x取定一个值时，y 就有唯一确定的
值与其对应.它们的关系式为 y=5-x .据此可以算出x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，y分别
为 2 m 、 1.5m 、 1 m 、 0. 5 m .
归纳：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有 唯一
确定的值与其对应.
2、思考：
（1）图19.1-2是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物
电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
图19.1-2对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
（2）下面的我国人口数统计表（表19.1-2）中，年份与人口数可以分别记作两个变量 x与y.对于表
中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
表19.1-2
对于每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y
归纳：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一 的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.如果当x=a时，y=b，那么
b叫做当自变量的值为a时的函数值．
三、互动质疑（议、展）
1、一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是 因变量 .
2、函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
3、实例：
例1 汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（位：L）随行驶路程x（单位：
km）的增加而减少，耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y=50-0.1x.
（2）仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x
不能取负数，行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x≤50.
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
（3）汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.
将x=200代入y=50-0.1x，得y=50-0.1×200=30.
汽车行驶200 km时，油箱中还有30L汽油.
4、解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、下列图形中，表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．
1、解：A、对于自变量 x的每一个值，因变量 y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示 y
是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量 x的每一个值，因变量 y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示 y是x的
函数，故B不符合题意；
C、对于自变量 x的每一个值，因变量 y都有唯一的值与它对应，所以能表示 y是x的函数，
故C符合题意；
D、对于自变量 x的每一个值，因变量 y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示 y是x的
函数，故D不符合题意；
故选：C．
2、一个长方形的周长为30cm,长为xcm,宽为ycm,则用x表示y的关系式为（ ）
30−x
A．y=30-x B．y=
2
C．x=15-y D．y=15-x
2、解：∵长方形的周长为30cm,长为xcm,宽为ycm,
∴2（x+y）=30，
∴y=15-x,
故选：D．
9−x
3、函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
x−4
A．x＞4 B．x≠4 C．x≥4 D．x≤4
9−x
3、解：根据函数y＝ 含有分母，
x−4
可列不等式为x-4≠0，
解得x≠4，
故选：B．
1
4、在关系式y＝ x+4中，若x=-3，则y= ．
3
1 1
4、解：当x=-3，则y＝ x+4= ×(−3)+4=3．
3 3
故答案为：3．
5、一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉 4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度 h（厘米）与
燃烧时间t（时）之间的关系式是 （0≤t≤6）．
5、解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度 h（cm）与燃烧时间 t（时）之间的关系式为 h=24-
4t.
故答案为：h=24-4t.
6、如图，梯形的上底长是 5cm,下底长是 13cm,当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发
生变化．（1）求梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的表达式．
（2）当梯形的高由10cm变化到4cm时，则梯形的面积如何变化？
1
6、解：（1）由题意得：y= ×（5+13）x=9x,
2
∴梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为：y=9x；
（2）当x=10时，y=90，
当x=4时，y=36，
∴当梯形的高由10cm变化到4cm时，梯形的面积由90cm2变化到36cm2．
六、用
（一）必做题
1、下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=x B．y=x2 C．y=x3 D．|y|=x
1、解：A、y=x,y是x的函数，故A不符合题意；
B、y=x2，y是x的函数，故B不符合题意；
C、y=x3，y是x的函数，故C不符合题意；
D、|y|=x,当x=2时，y=±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
2、有一个长为 15，宽为 10 的长方形，若将这个长方形的宽增加 x（0≤x＜5），长不变，所
得新长方形的面积y与x的关系式为（ ）
A．y=150-x B．y=10x
C．y=15x D．y=15x+150
2、解：由题意得：y=15（10+x）=10x+150，
故选：D．
√x−2
3、在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≠0 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0
3、解：由题意，得
x-2≥0且x≠0，
解得x≥2，
√x−2
∴函数y＝ 自变量x的取值范围是x≥2．
x
故选：C．
4、变量x,y的一些对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3y … -8 -1 0 1 8 27
根据表格中的数据规律，当 x=-5时，y的值是 ．
4、解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y=x3，
当x=-5时，y=（-5）3=-125，
故答案为：-125．
5、如图所示的计算程序中，y与x之间的关系式是 ．
5、解：根据图示可知，y与x之间的函数关系为：y=-3x+2，
故答案为：y=-3x+2．
（二）选做题
6、如图，某品牌自行车每节链条的长度为 2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为 0.8cm.
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节） 2 3 4 …
链条长度/y（cm） 4.2 5.9 …
（2）请你写出y与x之间的关系式；
（3）如果一辆自行车的链条（安装前）共由 40节链条组成，那么链条的总长度是多少？
6.解：（1）当x=4时，y=5.9+1.7=7.6，
故答案为：7.6；
（2）根据题意，得y=2.5+（2.5-0.8）（x-1）=1.7x+0.8，
∴y与x的关系式为y=1.7x+0.8；
（3）当x=40时，y=1.7×40+0.8=68.8（cm），
答：链条的总长度是68.8cm.
7、如图，三角形 ABC 的高 AD=4cm,BC=8cm,点 E 在 BC 边上，连接 AE．若 BE 的长为 x
（cm），三角形ACE的面积为y（cm2），解答下列问题：
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当x为多少时，三角形ABE的面积比三角形ACE的面积大4cm2？7、解：（1）由线段的和差，得CE=8-x,
1
由三角形的面积，得y= ×4×（8-x），
2
化简，得：y=-2x+16；
1
（2）由题意可得：△ABE的面积为： ×4×x=2x,
2
则2x-（-2x+16）=4，
解得：x=5，
即当x为5cm时，三角形ABE的面积比三角形ACE的面积大4cm2．
