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第 19 章 二次根式
19.1 二次根式
第 1 课时 二次根式的概念
【素养目标】
1. 理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式， 感悟利用数学符
号表示实际问题的意义。(重点)
2. 理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想。 (重点)
3. 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式 (组)
模型来培养全面思考问题的正确习惯.(难点)
【复习导入】
1. 回答下列问题：
(1) 16 的平方根是什么？16的算术平方根是什么？
(2) 0 的平方根是什么？0 的算术平方根是什么？
(3) -7有没有平方根？ 有没有算术平方根？
(4) √7 表示什么？
2. ① 平方根的性质
(1) 正数有_____个平方根且互为_____数
(2) 0 的平方根是_____
(3)负数_____平方根
(4)非负数 a 的平方根表示为_____.
② 算术平方根的性质
(1) 正数只有_____个算术平方根
(2) 0 的算术平方根是_____.
(3) 负数_____算术平方根
(4) 非负数 a 的算术平方根表示为_____.
3.自学教材第2页：
完成教材上提出的问题的思考。
【合作探究】
探究点1：二次根式的概念
第 1 页思考： 用含有根号的式子填空， 看一看写出的结果有什么共同特征：
(1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2 ，则它的宽为_____m.
(2) 一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方
形的面积之和，则大正方形的边长为_______.
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位： s ) 与开始落
下时离地面的高度 ℎ (单位： m ) 的关系近似为 h = 5t2 ，如果用含有 h
的式子表示 t ，那么 t 为_______.
上面问题中，得到的结果分别是： √65 , √a2+1 ,
√h
.
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
二次根式的定义
一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫作二次根式。 二次根式也是代数
式。
注意： a 可以是数，也可以是式。
{①外在特征： 式子含有 “√❑”
两个必备特征
②内在特征： 被开方数(式)a≥0
问题3 在二次根式√a 中，为什么a不能是负数？
通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？
【典例精析】
例1 下列各式中， 哪些是二次根式？ 哪些不是？
√1
(1) √32 ； (2) √−2 ; (3) 6 ; (4)√(m−3)2; (5) ; (6)
5
√xy (x , y异号) ；
(7) √a2 −1 ; (8) √35 ; (9) √2−1 ;
第 2 页探究点2：二次根式有意义的条件
例2 当 x 是怎样的实数时，√x−2 在实数范围内有意义？
练一练：当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) √x − 3 _________ (2) √−3x _________
1
(3) √4x2 _________ (4) _________
x2
1
(5) _________ (6) √x5 _________
√x
【变式题1】
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1 √x+3
(1) √5− x ; (2) √x−2+√3− x ; (3) ; (4) .
√x−1 x−1
【变式题2】
当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) √−x2+2x−1 ; (2) √−x2 −2x−3 .
问题 当 x 是怎样的实数时，√x2 在实数范围内有意义？√x3 呢？
探究点3：二次根式的求值
例3 (1) 当 a = −2 时，二次根式 √a+6 的值是________；
1
(2) 当 a = 时，二次根式 √3a+8 的值是________；
3
(3) 当 a = 4 时，二次根式
√a − 2
的值是________，
2
第 3 页练一练
(1) 当 x = −6 时，二次根式 √6−3x 的值是_________；
(2) 当 a = 7 时，二次根式 √2a−10 的值是_________；
(3) 当 x = −1 时，二次根式 √5− x2 的值是__________.
当堂反馈
1. 下列各式中，不是二次根式的是 ( )
√2
A. √45 B. √−3 C. √a2+1 D.
3
2. 要使式子 √202− x 有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A. x > 0 B. x ≥ −202 C. x ≥ 202 D.
x ≤ 202
3. 当 m = 2 时，
√8m+2
= _________。
3
4. [高频易错]若 a = √1− b+√b−1+2 ，则 a= _______， b= _______.
5. [教材变式]求使下列各式有意义的 x 的取值范围：
1
(1) ; (2) √2x2+1 .
√4−3x
6. [教材变式]有一个面积为360cm²的正方形纸片，将正方形纸片裁剪后拼出一
个长宽之比为4:3的长方形， 若正方形纸片和拼出的长方形纸片面积相等，
试求出长方形纸片的长与宽。
第 4 页参考答案
复习导入
1. (1) ±4 4 (2) 0 0 (3) 没有 没有 (4) 7 的算术平方根
2.① 平方根的性质
(1) 两 相反 (2) 0 (3) 没有 (4) ±√a .
② 算术平方根的性质
(1) 1 (2) 0 (3) 没有 (4) √a .
探究点1：二次根式的概念
思考： (1) √65 (2) √a2+1 (3)
√ℎ
5
问题1 分别表示 65, S , ℎ 的算术平方根。
5
问题2 ① 根指数都为 2; ② 被开方数为非负数。
问题3 因为实数范围内， 负数没有算术平方根。
例1 下列各式中， 哪些是二次根式？ 哪些不是？
(1) √ ; (2) ×; (3) ×; (4) √ ;(5) √ ;(6) ×; (7) ×; (8) ×; (9) √ ;
探究点2：二次根式有意义的条件
例2 解： 由 x−2 ≥ 0 ，得 x ≥ 2 .当 x ≥ 2 时，√x−2在实数范围内
有意义。
练一练：
(1) x≥3 (2) x≤0 (3) 全体实数 (4) x≠0 (5) x＞0 (6) x≥0
【变式题1】
(1) x ≤ 5 . (2) 2 ≤ x ≤ 3 . (3) x > 1 . (4) x ≥ −3 且
x ≠ 1
【变式题2】
解： (1) ∵ 无论 x 为何实数， −x2+2x−1 = −(x−1) 2 ≤ 0 ,
∴ 当 x = 1 时√−x2+2x−1, 在实数范围内有意义。
(2) ∵ 无论 x 为何实数， −x2 −2x−3 = −(x+1) 2 −2<0 ，
∴ 无论x为何实数， √−x2 −2x−3 在实数范围内都无意义。
问题 答：前者x为全体实数； 后者 x≥0 .
探究点3：二次根式的求值
第 5 页例3 (1) 2； (2) 3 ； (3) 1 ，
练一练 (1) 2√6 ；(2) 2 ； (3) 2 .
当堂反馈
1. B. 2. D. 3. √6 . 4. a= 2 , b = 1.
4
5. 解： (1) 由题意得 4−3x > 0 ，解得 x < .
3
(2) ∵2x2+1 > 0,∴ x为一切实数。
6. 解： 设长方形纸片的长为 4x cm ，宽为 3x cm , 则 4x×3x = 360 ,
解得 x = √30 或 x = −√30 (舍去).
则 4x = 4√30 , 3x = 3√30 . 即 长 方 形 纸 片 的 长 和 宽 分 别 是
4√30cm,3√30cm .
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