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19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利
用数学符号表示实际问题的意义.
2.掌握二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想.
3.会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用
不等式（组）模型来培养全面思考问题的正确习惯.
重点：二次根式的识别，掌握二次根式有意义的条件.
难点：会求二次根式中字母的取值范围.
知识链接：在七年级下册我们学习了平方根的知识，回顾一下相关
知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：二次根式的概念
自学教材第2页：完成教材思考上提出的问题.
问题1：上述三个式子有什么共同特征？
①根指数都为2，含有“√ ”.②被开方数为非负数.
问题2：在二次根式√a中，为什么a不能是负数？
因为实数范围内，负数没有算术平方根.
归纳总结：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式.二
次根式也是代数式.
判断下列各式是否为二次根式.
（1）√32（ √ ） （2）√－2（ × ）
（3）6（ × ）√1
（4）√（m－3）2（ √ ） （5） （ √ ） （6）√xy（x，y异
5
号）（ × ）
（7）√a2+1（ √ ）（8）√35（ × ） （9）√2－3（ √ ）
【对应训练】教材P3练习第1题.
探究点二：二次根式有意义的条件
（教材P2例1）当x满足什么条件时，√x－2在实数范围内有意
义？
解：由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.
【思考】当x满足什么条件时，√x2在实数范围内有意义？√x3呢？
前者x为全体实数；后者x≥0.
x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）√x－3 x ≥ 3 （2）√－3x x ≤ 0 （3）√4x2 全体
实数
√ 1 √1
（4） x ≠ 0 （5） x ＞ 0 （6）√x5 x ≥ 0
x2 x
归纳总结：二次根式有意义的条件：①被开方数大于或等于零；②
分母中有字母时，要保证分母不为零.
【对应训练】教材P3练习第2题.
探究点三：二次根式的求值
（1）当a＝－2时，二次根式√a+6的值是 2 ；
1
（2）当a＝ 时，二次根式√3a+8的值是 3 ；
3
√a－2
（3）当a＝4时，二次根式 的值是 1 .
2
归纳总结：把未知数的值代入二次根数求值，注意化简.
【对应训练】教材P3练习第3题.1.下列各式中，不是二次根式的是（ B ）
√2
A.√45 B.√－3 C.√a2+1 D.
3
2.要使式子√202－x有意义，则x的取值范围是（ D ）
A.x＞0 B.x≥－202 C.x≥202 D.x≤202
√8m+2
3.当m＝2时， ＝ √6 .
3
4.[高频易错]若a＝√1－b＋√b－1＋2，则a＝ 2 ，b＝ 1 .
5.[教材变式]求使下列各式有意义的x的取值范围：
1
（1） ；
√4－3x
4
解：由题意得4－3x＞0，解得x＜ . （2）√2x2+1.
3
解：∵2x2＋1＞0，
∴x为一切实数.
6.[教材变式]有一个面积为360cm2的正方形纸片，将正方形纸片裁
剪后拼出一个长宽之比为4∶3的长方形，若正方形纸片和拼出的长
方形纸片面积相等，试求出长方形纸片的长与宽.
解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x·3x＝360，
解得x＝√30或x＝－√30（舍去）.
则4x＝4√30，3x＝3√30.
即长方形纸片的长和宽分别是4√30cm，3√30cm.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
