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19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
1.理解二次根式的三个性质√a≥0（a≥0）；（√a）2＝a（a≥0）和
√a2＝a（a≥0）.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简.
2.通过对√a2的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆
运算推导结论（√a）2＝a（a≥0），感受数学知识的内在联系.
3.经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，
体验发现的快乐.
重点：二次根式的性质的理解及运用.
难点：会运用二次根式的性质进行化简.
知识链接：上节课我们学习了二次根式的概念，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：√a≥0（a≥0）
问题1：当a≥0时，√a表示什么含义？其数值有什么特点？
当a＞0时，√a表示a的算术平方根，因此√a＞0；当a＝0时，√a表
示0的算术平方根，因此√a＝0.所以当a≥0时，√a≥0，即当a是
非负数时，√a也是非负数.
归纳总结：二次根式具有双重非负性，即√a≥0（a≥0）.
问题2：我们还学过哪些非负数？
一个数的绝对值；一个数的正偶次幂.
已知实数m，n满足｜m＋3｜＋√n－1＝0，则m＝ － 3 ，n＝
1 .
【对应训练】已知（x－2）2＋√y+1＝0，则xy的值为 － 2 .
探究点二：（√a）2＝a（a≥0）问题3：（教材P3探究）根据算术平方根的意义填空：
√1 1
（√3）2＝ 3 ；（√0.5）2＝ 0 . 5 ；（ ）2＝ ；（√0）2
3 3
＝ 0 .
分析：√3是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，√3是一个平
方等于3的非负数.因此有（√3）2＝3.同理，可得（√0.5）2＝0.5，
√1 1
（ ）2＝ ，（√0）2＝0.
3 3
归纳总结：一般地，（√a）2＝a（a≥0）.注意：不要忽略a≥0这
一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件，a可以是数，也可
以是式.
（教材P4例2）计算：（1）（√1.5）2；（2）（2√5）2.
解：（1）（√1.5）2＝1.5；
（2）（2√5）2＝22×（√5）2＝4×5＝20.
提示：2√5表示2×√5，利用了（ab）2＝a2b2这个性质.
【对应训练】教材P4练习第1题.
探究点三：√a2＝a（a≥0）
问题4：（教材P4探究）填空：
√ 2 2
√22＝ 2 ；√0.12＝ 0 . 1 ； （ ）2＝ ；√02＝ 0 .
3 3
【拓展】当a＞0时，√a2＝ a ；当a＝0时，√a2＝ 0 .
归纳总结：一般地，√a2＝a（a≥0）.即任意一个非负数的平方的算
术平方根等于它本身.
【思考】当a为任意实数时，√a2都有意义.如果上式中的a为负实数，
那么上式还成立吗？为什么？
不成立，因为算术平方根不能为负数.
问题5：（教材P4探究变式）填空：
√ 2 2
√（－2）2＝ 2 ；√（－0.1）2＝ 0 . 1 ； （－ ）2＝ .
3 3【拓展】当a＜0时，√a2＝ － a .
问题6：如果a是任意实数，那么如何化简√a2？
{
a（a>0),
√a2＝｜a｜＝ 0（a=0),
－a（a<0).
【议一议】如何区别（√a）2与√a2？
（√a）2 √a2
从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0 a取任何实数
从运算结果看 a ｜a｜
表示一个非负数a的 表示一个实数a的
意义
算术平方根的平方 平方的算术平方根
（教材P4例3）化简：（1）√16；（2）√(－5) 2.
解：（1）√16＝√42＝4；（2）√(－5) 2＝√52＝5.
【对应训练】教材P4练习第2题.
1.化简√（－3）2的结果是（ B ）
A.－3 B.3 C.±3 D.9
2.用一个x的值说明“√x2＝x”是错误的，则x的值可以是（ C ）
A.2 B.0 C.－1 D.1
3.若｜a－3｜＋√b+1＝0，则2a＋b＝ 5 .
4.（1）若√（4－m）2＝4－m，则m的取值范围是 m ≤ 4 ；
（2）若√a2＝－a，则a的可能取值为 － √3 （ 答案不唯一 ） （请
写出一个符合条件的无理数）.
5.计算：
√ 1
（1）（2√5）2； （2） （ ）2； （3）√10－4； （4）
6
√（3－π）2.1 1
解：原式＝20. 解：原式＝ . 解：原式＝ . 解：原式＝π－
6 100
3.
6.已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：√（a－b）2－
√（a＋b）2.
解：由数轴可得a－b＞0，a＋b＜0，
故原式＝a－b＋a＋b＝2a.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
