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人教版九年级上学期【第一次月考卷】
（测试时间：90分钟 满分：120分 测试范围：第21章-第22章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项正确）
1．（2022春•丰泽区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． +x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有
一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（2021秋•勉县月考）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2m＝4即x2+2m﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（2m﹣4）＝16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
3．（2022秋•麒麟区校级月考）把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线
是（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．【解答】解：将抛物线 y＝5x2向左平移 2个单位，再向上平移 3个单位得到函数解析式是：y＝5
（x+2）2+3．
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（2022秋•德城区校级月考）对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：A、∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，本选项正确，
D、把x＝3代入y＝﹣2（x﹣1）2+3，解得：y＝﹣5＜0，本选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
5．（2021秋•淇滨区校级月考）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为
（ ）
A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或4
【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ ax﹣a2＝0的一个根，
∴（﹣2）2+ a×（﹣2）﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，
整理，得（a+4）（a﹣1）＝0，
解得 a ＝﹣4，a ＝1．
1 2
即a的值是1或﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称
为一元二次方程的根．6．（2022秋•宜阳县月考）为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书
香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一
个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆 6080人次，若进馆人次的月平均增
长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080
B．6080（1+x）+6080（1﹣x）2＝1280
C．1280（1+x）2＝6080
D．6080（1﹣x）2＝1280
【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280（1+x）人
次，第二个月进馆1280（1+x）2人次．，结合到第三个月月末累计进馆 6080人次，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280（1+x）人次，第二个月进馆1280（1+x）2人次．
根据题意得：1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
7．（2022秋•龙亭区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的
是（ ）
A．ac＜0 B．2a﹣b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＝0
【分析】根据二次函数的图象与系数即可判断．
【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴A选项不符合题意，∵对称轴为x＝ ，
∴2a+b＝0，
∴B选项符合题意，
由抛物线的顶点位置可知 ，
∵a＜0，
∴4ac﹣b2＜0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴C选项不合题意，
∵抛物线与x轴右侧的交点的横坐标为3，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴左侧的交点为﹣1，
即a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0，
∴D选项不合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记二次函数解析式中系数对图象位置的影响，
a决定开口方向，a、b决定对称轴，c决定图象与y轴的交点．
8．（2022秋•海珠区校级月考）二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求得抛物线的对称轴和直线与x轴的交点即可判断A、B、C不合题意，然后根据D中二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a＞0，b＜0，由此即可得出一次函数图象经过的象限，
再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，
∵一次函数y＝2ax+b，
∴当y＝0，则x＝﹣ ，
∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，
故A、B、C不合题意，
D、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴、直线与 x
轴的交点以及函数图象经过的象限判断是解题的关键．
9．（2022秋•雁塔区校级月考）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），
（1，d），
所以，a＞b＞c＞d．
故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关
键．
10．（2022秋•安溪县校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
0
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的
求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：
x ＝ 或x ＝
0 0
∴2ax +b＝ 或2ax +b＝﹣
0 0
∴
故④正确．
⑤令y＝ax2+bx+c，则存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是
解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•凉州区月考）已A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）三点都在二次函数y＝﹣2
1 2 3
（x+2）2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为 y ＜ y ＜ y ．
1 2 3 3 1 2
【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣2和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
【解答】解：把A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）分别代入y＝﹣2（x+2）2得
1 2 3
y ＝﹣2（x+2）2＝﹣8，y ＝2（x+2）2＝﹣2，y ＝﹣2（x+2）2＝﹣50，
1 2 3
所以y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为y ＜y ＜y ．
3 1 2
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知 、 是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则 2+3 + 的值为 ﹣ 1
． α β α α β
【分析】根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到 2+2 ﹣1＝0， + ＝﹣2，根据
2+3 + ＝ 2+2 + + 即可求解． α α α β
α【解α答】β 解α：∵α ，α β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴ 2+2 ﹣1＝0，α +β＝﹣2．
∴α2+2α＝1 α β
∴α2+3α+ ＝ 2+2 + + ＝1﹣2＝﹣1．
α α β α α α β故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
＝﹣ ，x x ＝ ．也考查了一元二次方程根的定义．
1 2
13．（2022秋•龙亭区校级月考）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是 k ＜ 5 且 k ≠ 1 ．
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可
得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零以及根的判别式 Δ＞
0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
14．（2022秋•修水县月考）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 4
．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，
解得m＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两
个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（2022秋•东莞市校级月考）将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位
长度得到的抛物线的函数解析式为 y ＝﹣ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ﹣ 4 ．
【分析】由平移的规律即可求得答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位，则函数解析式变为y＝﹣2（x+2﹣3）2＝﹣2
（x﹣1）2，向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣4．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
16．（2022春•滨海县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方
程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ﹣ 6 ．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
【解答】解：由题意抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣6．
故答案为﹣6
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2022秋•洪江市校级月考）方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x ＝ ﹣ 1+ ，x ＝ ﹣ 1 ﹣
1 2
．
【分析】先观察再确定方法解方程，此题首先要化简，然后选择配方法较简单，因为二次项的系数为
1．
【解答】解：化简得，
x2+2x﹣16＝0
∴x2+2x＝16
∴（x+1）2＝17
∴x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
【点评】解此题的关键是先化简，再选择适宜的解题方法．求根公式法和配方法适用于任何一元二次方
程，配方法对于二次项的系数为1方程要简单些．
18．（2022春•荔城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称
轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实
数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 ①②③④⑤ （只填写序号）．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与 y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判
断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝
﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤．
【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大 ＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数性质，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
三、解答题（本大题共8小题，19-24题每题8分，25-26题9分，共66分．）
19．（2023秋•鼓楼区校级月考）用指定方法解下列一元二次方程
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）
（3）x2+x﹣1＝0（公式法）
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用配方法求出解即可；
（3）方程利用公式法求出解即可；
（4）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，
移项，得 3（2x﹣1）2＝12，
两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，
两边开平方，得2x﹣1＝±2，
移项，得2x＝1±2，
解得：x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
两边都除以2，得x2﹣2x﹣ ＝0，移项，得x2﹣2x＝ ，
配方，得x2﹣2x+1＝ ，即（x﹣1）2＝ ，
解得：x﹣1＝± ，
即x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（3）x2+x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，
方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x ＝ ，x ＝1．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本
题的关键．
20．（2023秋•鼓楼区校级月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为
了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每
降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出
20+2x件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即
可得到x的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），解得 x ＝10，x ＝20，
1 2
经检验，x ＝10，x ＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
1 2
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本
数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
21．（2022秋•泸县校级月考）已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣3）（x+1），
将（2，﹣6）代入，则a＝2，
∴y＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6，
（2）∵ ， ，
∴顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数 y＝
ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线 ，其顶点坐标是 ．
22．（2023春•包河区校级月考）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平
方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在
垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长
各是多少米？【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为 米，根据题意列出相应的一元
二次方程即可求解．
【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为 米，
由题意得： ，
∴ ，
∴x2﹣62x+960＝0，
∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，
解得：x＝30或x＝32（舍去），
∴ ，
∴矩形场地的长为30米，宽为16米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
23．（2022秋•沭阳县校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线．
（1）求证：抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上；
（2）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，求m的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，将顶点横坐标代入函数y＝﹣x2+x+2求出y的值，与顶点
纵坐标比较即可得到答案；
（2）由点B、点C的横坐标求出a、b，进而列不等式求解．
【解答】（1）证明：∵y＝x2﹣2mx+m+2＝（x﹣m）2﹣m2+m+2，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣m2+m+2），
当x＝m时，y＝﹣x2+x+2＝﹣m2+m+2，
∴抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上；
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴当x＝2时，a＝4﹣4m+m+2＝6﹣3m；
当x＝5时，b＝25﹣10m+m+2＝27﹣9m，
∵a＞b，
∴6﹣3m＞27﹣9m
解得m＞3.5．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌
握二次函数与方程的关系．
24．（2022秋•东莞市月考）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数
×8，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣10（不合题意，舍去）．
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答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方
程；（2）根据数量关系，列式计算．
25．（2020秋•揭西县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，
沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运
动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）由于若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那
么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值；
（2）由于当N点到达A点时，x＝2 ，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧．
以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：
①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；
②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x2＝20，
∴ ， （舍去），
∴当 时，P，N重合；
（2）因为当N点到达A点时，x＝2 ，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得x ＝0（舍去），x ＝2，
1 2
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得x ＝﹣10（舍去），x ＝4，
1 2
当x＝4时四边形NQMP是平行四边形，所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元
二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．
26．（2022秋•金安区校级月考）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两
点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直
线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的
坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），
F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：
EF＝2：3时，S△BDE ：S△BEF ＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE ：S△BEF ＝3：2，从而可得到关于x的
方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣
10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，
则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则 50+t2+9＝t2﹣10t+29；当
MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可
得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得： ，
解得 ，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
解得 ，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE ：S△BEF ＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
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当DE：EF＝3：2时，S△BDE ：S△BEF ＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 2
综上所述，当点D的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两
部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时
M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此
时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t ＝6，t ＝
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﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用
待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直
角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
