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19.2(第 2 课时)二次根式的除法（解析版）
目 录
类型一、二次根式的除法..........................................................................................................................................1
类型二、二次根式的乘除混合运算........................................................................................................................10
类型三、最简二次根式的判断................................................................................................................................25
类型四、化为最简二次根式....................................................................................................................................30
类型五、已知最简二次根式求参数........................................................................................................................35
类型一、二次根式的除法
1．化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质．将 转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：C．
2．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，
根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可．
【详解】A． ，正确；
B． ，正确；
C． ，故选项错误；
D． ，正确．
故选：C．
3．下列运算中，计算正确的（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算和根式的运算，正确运用整式和根式的运算法则是解题关键．需根据运算法
则逐一判断各选项是否正确．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4．计算 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．
利用二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
故选：A．
5．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 和 在实数范围内无定义，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；故选：D
6．计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性
质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可．
【详解】解： ；
故选C．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根和立方根的基本运算，以及根式的乘除法则，根据立方根和平方根的定义，以及
根式的运算法则，逐一验证各选项．注意平方根的非负性（ ），以及根式乘除时合并根号的计算规
则（ ， ）．
【详解】∵ （因为 ），∴ A符合题意；
∵ ，∴ B不符合题意；
∵ ，∴ C不符合题意；
∵ ，∴ D不符合题意．
故选：A．
8．已知长方体的体积 ，高 ，则它的底面积S为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键．
根据长方体的底面积等于体积除以高列式计算即可．
【详解】解： ，
故选：C．
9．某直角三角形的面积为 ，其中一条直角边长为 ，则另一条直角边长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则．
利用二次根式的除法法则进行计算即可．
【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为 ，
故选：A．
10．下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质以及乘除运算，根据二次根式的性质以及乘除法运算法则逐项计算，进
而可得答案．
【详解】解：A、 ，正确，不符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、 ，原计算错误，符合题意；
D、 ，正确，不符合题意．
故选：C．
11． ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．计算： ．
【答案】
【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握是解题关键．
根据二次根式的除法运算求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．13． ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则，根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：2．
14．不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键；
先通过移项，然后系数化为1，求解不等式，并简化表达式．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴不等式的解集为： ．
15． ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，直接根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
16．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位： ）和高度h
（单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．记从 高空抛物到落地所需时间为 ，从
高空抛物到落地所需时间为 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．将 代入 进行计算即可；将
代入 进行计算，再计算 与 的比值即可得出结论．
【详解】解：当 时， （秒 ；
当 时， （秒 ；
，
故答案为： ．
17．计算： .
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式
的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
18．如果 成立，那么 的取值范围是： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，
且分母不能为零，得出 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得： ，故 ，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．
19． 的平方根是 ， 的立方根是 ， 的倒数是 ．
【答案】
【分析】此题考查分母有理化，平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则． 分别根据平方根以及立
方根和分母有理化求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 的平方根是 ， 的立方根是 ， 的倒数是： ．
故答案为： ， ， ．
20．一个矩形的面积为 ，长为 ，则这个矩形的宽为 ．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
直接根据题意列式，然后再运用二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得： ．
故答案为 ．
21．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别计算立方根及算术平方根，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案；
（2）先展开，再由二次根式除法运算计算，然后由二次根式性质化简，最后由有理数乘法运算及加减运
算法则计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【点睛】本题考查实数混合运算，涉及立方根、算术平方根、二次根式除法运算、二次根式性质化简、有
理数乘法运算及有理数加减运算等知识，熟记实数相关运算法则是解决问题关键．
22．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平方差公式和二次根式的运算．
（1）式子是两个数的和与这两个数的差的乘积形式，应用平方差公式展开，计算 即可求解；
（2）将被除数 拆分成三个项，分别除以 ，转化成三个简单的二次根式的除法运算即可
求解．
【详解】（1）解：
（2）
23．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法．
根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】．
24．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）直接根据二次根式的除法法则计算即可；
（2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可；
（3）直接根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ．
25．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式乘法法则，将两个根式相乘转化为一个根式内的乘法运算，再化简得出结果．
（2）利用二次根式的乘除法则，把分子中的根式相乘后与分母的根式进行运算，化简得到答案．
（3）按照从左到右的顺序，先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算（转化为乘法），最后化简．
（4）把每个根式先化简，然后将除法转化为乘法，依次进行乘法运算，最后化简得出结果．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
（3）解：原式 ．
（4）解：原式 ．
类型二、二次根式的乘除混合运算
26．已知矩形的长为 ，面积为 ，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面
积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为 ，面积为
，得矩形的另一边长为 ，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积．
【详解】 矩形的长为 ，面积为 ，
矩形的宽为 ，
， ， ，
，
正方形的最大边长为矩形的宽 ，
正方形的最大面积为 ，
故选：C．
27．计算 结果为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计
算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
28．计算： 的结果是（ ）
A． B． C．40 D．7
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断．
【详解】解：
．
故选：D．
29．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算．
【详解】解：故选：B
30．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键．
利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可．
【详解】解：A、 ，原选项错误，不符合题意；
B、 ，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意；
故选：D．
31．若 ，则化简 所得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题
型．
根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式 ，
故选：C．
32．估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可．
【详解】解： ；
且 ，
，；
故选：A．
33．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ）
填空（每小题 分，共 分）
① 的倒数是 ；② 的绝对值是 ；③ ；
④ ；⑤体积为 的立方体的棱长为
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
【答案】C
【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及
二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：① 的倒数是 ，该题做错了；
② 的绝对值是 ，该题做对了；
③ ，该题做错了；
④ ，该题做对了；
⑤体积为 的立方体的棱长为 ，该题做对了；
∴得分应是 分，
故选： ．
34．计算： 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质
，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根
式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故选：A．
35．估计 的值应在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，无理数的估算，先根据二次根式的乘除混合计算法则
求出 ，再利用无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值应在4到5之间，
故选：C．
36．计算： 的值为（ ）
A．2024 B．1012 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选C．
37．计算 的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算．先计算除法，然后计算乘法，即可求解．
【详解】解：
故选：C
38．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简 ，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得
到结果．
【详解】解：
，
故答案为： ．
39．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键．
直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
40．计算： ．
【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法．先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的
乘法．
【详解】解：
，
故答案为： ．
41．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是
解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
42．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除的运算法则．
先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的乘法．
【详解】解：
故答案为： ．43．对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下： ，则
．
【答案】
【分析】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，根据新定义的运算，结合二次根式的乘
除混合运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
44．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的
乘法．
【详解】解：
故答案为：
45．计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为：2．
46．计算： ．
【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运
算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
47．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：根据二次根式非负性得出 ，．
48．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的乘除运算、立方根与平方根的化简、绝对值的运算，依据根式、绝对值的定
义规则分步化简是解题关键．
（1）根据二次根式乘除法则，将被开方数先乘除再化简；
（2）分别化简立方根、平方根、绝对值，再按有理数运算法则计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
49．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，求一个数的立方根．
先计算二次根式的乘法，二次根式化简，立方根，再计算加减即可．
【详解】解：原式．
50．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查实数的混合运算、求一个数的算术平方根和立方根，以及二次根式的乘法和除法，
熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可；
（2）原式自左向右依次进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
51．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式
．52．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式乘除法，根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
53．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可．
【详解】解：
．
54．计算：
【答案】【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外
面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是
解题的关键．
【详解】解：由题意可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
55．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则是解题
的关键．
先将各项根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除运算法则，从左到右依次进行计算．
【详解】解：
．56．计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握开平方和实数的乘除运算是解题的关键，先利用开平方将式子化
简，再利用实数的乘除混合运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：
．
57．计算下列各题
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，并化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的乘除，并将 化为 ，再根据平
方差公式进行计算，计算乘方和乘法，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
58．计算： （ ）．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
59．计算:
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
根据二次根式乘除混合运算法则进行求解即可．
【详解】解：
．
60．计算： ．
【答案】【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
类型三、最简二次根式的判断
61．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：∵ A. 被开方数含有分母，不是最简二次根式；
B. 被开方数含有分母，不是最简二次根式；
C. ，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式；
D. 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
故选：D．
62．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含平方因
子，由此求解即可．
【详解】解： 最简二次根式定义要求被开方数不含分母且不含平方因子；
选项A： ，11为质数，无平方因子；
选项B： ， ，无平方因子；
选项C： ，被开方数含分母；
选项D： ，2为质数，无平方因子；
不是最简二次根式的是C．
故选：C．
63．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，
A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意；
B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意；
C： ，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D： ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意．
故选：C．
64．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式进行解答即可．
【详解】解：A． ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C． ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
65．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数、
不含分母，且分母不含根号），逐一判断各选项。
【详解】解：A、 = = ，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B、 被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 被开方数不含能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式；
D、 含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式．
故选：C
66．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被
开方数不含能开方的因数（即无完全平方因数），据此逐一判断各选项即可．
【详解】解： A. ，被开方数含分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B. ，是最简二次根式，本选项符合题意；
C. ，分母含根号，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D. ，被开方数含完全平方因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意．
故选：B．
67．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需
同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项．
【详解】解： A、 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，含能开方的因数 ，不是最简，不符合题意；
C、 被开方数 为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意；
D、 ，含能开方的因数 ，不是最简，不符合题意；
故选：C．
68．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义
（被开方数不含分母且无开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式；
B. 符合最简二次根式的条件，故B选项是最简二次根式；
C. ，不是最简二次根式；
D. ，不是最简二次根式；
故选B．
69．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开
得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 被开方数 为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意；
B、 ，含平方因子 ，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、 被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、 被开方数 不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
70．若 是最简二次根式，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可．
【详解】解：∵ 时， ，根号下有分母，不是最简二次根式；
∵ 时， ，可化简为整数，不是最简二次根式；
∵ 时， ，可化简，不是最简二次根式；
∵ 时， ，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式．
故选：B．
71．若式子 是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个．【答案】5
【分析】要确定满足 是最简二次根式的正整数 的值，需根据最简二次根式的定义，分析 的取
值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且 为正整数．
【详解】∵ 是最简二次根式，
∴被开方数 为不含完全平方因数的正整数，
由 且 为正整数，可知 的可能取值为 。
分别分析：
当 时， ， 是最简二次根式；
当 时， ， 是最简二次根式；
当 时， ， 是最简二次根式；
当 时， ， ，不是最简二次根式；
当 时， ， 是最简二次根式；
当 时， ， 是最简二次根式；
当 时， ， ，不是最简二次根式．
∴满足条件的正整数x的值为 ，共 个．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因
式是解题的关键．
72．若 为最简二次根式，则两位数 中的 数字可以为 ．
【答案】0或1或3或4或5或7或9
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义即可求解．
【详解】解：∵ 都是最简二次根式，而 ， ，
，
∴ 均不是最简二次根式，
故答案为：0或1或3或4或5或7或9．
73．在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的
因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判
定条件是解此题的关键．【详解】解： ， ， ，不是最简二次根式， 是最简二次根式，
故答案为： ．
74．若 ，其中 为最简二次根式， 为有理数， ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到
，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化
简是解决问题的关键．
【详解】解： ，
若 ，其中 为最简二次根式， 为有理数，则 ，
故答案为： ．
75．写出一个大于2且小于3的最简二次根式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，实数大小比较，无理数，根据无理数的估算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴写出一个大于2且小于3的无理数是 ．
故答案为： （答案不唯一）．
类型四、化为最简二次根式
76．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（ ）
A． B． C．6 D．9
【答案】A
【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边
长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算 并化简即可．
【详解】解：设边长为a，
∴ ，而 ，
∴ ，
故选：A．
77．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：A、 ， ，未化简，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ， 分母有根号，未化简，故此选项不符合题意；
D、 ，是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
78．化简： ＝ ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键．
利用二次根式的性质将根号内的分数分解，再有理化分母即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
79．化简与计算： ， ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则．
第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用
积的乘方公式计算．
【详解】解：
；；
．
故答案为： ， ， ．
80．化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化
简分母中的根号并有理化；
【详解】解： ．
故答案为： ．
81．已知 ，化简 ．【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
82．化简： = ．
【答案】
【分析】该题考查了二次根式的性质，由于 ，被开方数 ，平方根有意义．化简时，将根号内
的表达式变形，利用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．
【详解】解：因为 ，所以 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
故答案为： ．
83．已知 ，化简 .
【答案】 /
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
被开方数分子和分母同乘以 ，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵ ， 有意义，
∴
∴，
故答案为： ．
84．化简 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简．对分母进行有理化，先化简根号再计算．
【详解】解： ．
故答案为： ．
85．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再
利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果．
【详解】 ，
故答案为： ．
86．将 化成最简二次根式的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可．
【详解】解： ．
故答案为：
87．将 化为最简二次根式： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根
据二次根式性质，进行化简即可．
【详解】解： ．故答案为： ．
88．化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可．
本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键．
【详解】解： ．
故答案为：
类型五、已知最简二次根式求参数
89．若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是（ ）
A．7 B．21 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式
需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析．
先将 化为最简二次根式，得到其被开方数；因 是最简二次根式且能与 合并，故两者被开方
数相同，由此确定m的值．
【详解】解： ，其被开方数为2．
∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ ，则
故选：C．
90．若二次根式 是最简二次根式，则m可取的最小整数为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键
根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
【详解】解： ，
，当 时， ，不是最简二次根式；
当 时， ，是最简二次根式，
故 可取的最小整数为 ，
故选：D．
91．已知 是一个正整数， 也是正整数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【答案】B【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由 是正整数且
，得到 是完全平方数，即可求出 的最小值．
【详解】解： 是正整数， ，
是完全平方数，
的最小值为5．
故选：B．
92． 与最简二次根式 是同类二次根式，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．11
【答案】A
【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键．
直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解： 与最简二次根式 是同类二次根式，
，
解得： ．
故选：A．
93．已知n为正整数，且 是整数，则n的最小值是（ ）
A．20 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定
n的值．
【详解】解：∵
是整数，n是正整数，
∴n的最小值为5，
故选B
94．若 的值是一个整数，则正整数 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到 ，再根据已知
条件即可确定正整数a的最小值．
【详解】解： 是一个整数，
是一个整数，
正整数 的最小值为 ，
故选D．95．若 与最简二次根式 能合并，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化
简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知， ，则 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
解得， ，
故选：B．
96．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的
关键．
根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解 的值．
【详解】解：∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
97．已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了同类二次根式的定义．
根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同．
【详解】解：由题意， 与 可以合并，
因此它们是同类二次根式，
故被开方数相等，
即 ，
解方程： ，
移项得 ，
解得 ．
故答案为：4．
98．二次根式 是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ．
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子，
【详解】解：当 ，则 ，3无平方因子，故 是最简二次根式
故答案为：1（答案不唯一）．
99．已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方数相同，若 是正整数，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质；由 ，被开方数为 ，故 化简后被开方数也应为 ，
即 是 的倍数且为完全平方数的 倍，列出可能值求 ．
【详解】解： ，被开方数为2．二次根式 与 化成最简二次根式后被开方数相同，故
化简后被开方数也为2．
设 （k为正整数），则 ．
由 ，得 ， ， 为正整数，
故 ， ， ．
当 时， ；
时，
时， ．
综上所述： 的最小值为 ．
故答案为： ．
100．若最简二次根式 和 乘积是有理数，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
将 化为 ，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解： ，
最简二次根式 和 乘积是有理数，
，
解得： ，
故答案为：
1．已知矩形的长为 ，面积为 ，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面
积是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为 ，面积为
，得矩形的另一边长为 ，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积．
【详解】 矩形的长为 ，面积为 ，
矩形的宽为 ，
， ， ，
，
正方形的最大边长为矩形的宽 ，
正方形的最大面积为 ，
故选：C．
2．若 ，把 化成最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】解：∵
∴
∴
所以答案是：
【点睛】本题考查了二次根式的性质 .
1．已知实数 ， 满足 ，则 的值为 ．
【答案】4036
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出 和 ．然后再求出
和 ．两式子相加，即可得出 ，然后利用二次根式的非负性质可得出， ，即可得出 和 ，然后代入计算即可．
【详解】解：
∵
∴ ①
同理可得出 ，
②
∴ ①
，
②
由 得： ，
① ②
，
∴
， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴故 ，
故答案为：4036．
2．我们规定用 表示一对数对，其中 ， ．给出如下定义：记 ， ，将 称
为数对 的“衍生数对”．例如： 的“衍生数对”为 ；
(1)数对 的“衍生数对”是 ；
(2)若数对 与 的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对 的“衍生数对”是 ，求 的值；
(4)若数对 的“衍生数对”是 ，当 时比较 和 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)6
(4) ，见解析
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公
式，结合二次根式的计算规则是解题的关键．（1）直接根据“衍生数对”定义，代入 、 计算 和 ，
（2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y，
（3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算 ，
（4）用定义表示出m、n，通过作差法结合 的条件，判断 与 的大小．
【详解】（1）解：根据定义： ， ，
故答案为： ；
（2）解：数对 的衍生数对： ， ，
数对 的衍生数对： ， ，
由衍生数对相同得 且 ，解得 ，
故答案为：3；
（3）解：由 ，得 ，故 ，
由 ，得 ，
；
（4）解：由定义得 ， ，作差：
，
，且 ， ，故分子 ，
3．小君想到了一种证明等式 成立的方法．证明过程如下：
设 ， ，则 ， ．
等号左边 ，等号右边 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴等号右边 ，
∴等号左边 等号右边，
∴等式 成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程 的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整
式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设 ， ，则 ________， ________．将原无理方程
转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程 的解为________．
【答案】(1)9；1； ．
(2)
【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等
知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）依据题意，由 、 ，则 ， ，又
，则 可求出m，n，进而完成解答；
（2）解法一：依据题意，由 ，从而
，
则 ，故 ，然后整理后求解即可．
解法二：设 ，由题意得， ，计算可得 ，
进而可得 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：设 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．联立 ，解得：
∴ ．
∴ ．
故答案为：9；1．
（2）解法一：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，解得： ．
经检验： 是原方程的解．
解法二：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ．
经检验： 是原方程的解．
故答案为： ．
