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一次函数与方程、不等式
一、单选题
1．若一次函数 y=-x+m 的图象经过点 (-1，2) ，则不等式 -x+m≥2 的解集为
（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≥1 D．x≤-1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵把（-1，2）代入y=-x+m得1+m=2，解得m=1
∴一次函数解析式为y=-x+1，
解不等式 -x+1≥2 得 x≤-1
故答案为D.
【分析】将（-1，2）代入y=-x+m中求得m，然后再解不等式 -x+m≥2 即可.
2．将直线 y=-2x-1 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（
）
A．y=-2x-5 B．y=-2x-3 C．y=-2x+1 D．
y=-2x+3
【答案】C
【解析】【解答】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故答案为：C．
【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
2
3．已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2和直线 y= x+2 分别交x轴于点
3
A和点B.则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y=x+2 B．y=√2x+2 C．y=4x+2 D．
2√3
y= x+2
3
【答案】C
2
【解析】【解答】解： ∵ 直线 y=2x+2 和直线 y= x+2 分别交 x 轴于点 A 和
3
点 B .
∴A(-1,0) ， B(-3,0)
A 、 y=x+2 与 x 轴的交点为 (-2,0) ；故直线 y=x+2 与 x 轴的交点在线段
AB 上；
B 、 y=√2x+2 与 x 轴的交点为 (-√2 ， 0) ；故直线 y=√2x+2 与 x 轴的交
点在线段 AB 上；1
C 、 y=4x+2 与 x 轴的交点为 (- ， 0) ；故直线 y=4x+2 与 x 轴的交点
2
不在线段 AB 上；
2√3 2√3
D 、 y= x+2 与 x 轴的交点为 (-√3 ， 0) ；故直线 y= x+2 与 x 轴
3 3
的交点在线段 AB 上；
故答案为：C.
【分析】由y=0，利用两函数解析式建立关于x的方程，分别求出方程的解，即可得到
点A，B的坐标，再分别求出各选项中的函数图像与x轴的交点坐标，再根据点A，B
的坐标，即可作出判断。
4．如图，直线y=-x+2分别交x轴、y轴于点A，B，点D在BA的延长线上，OD的垂
直平分线交线段AB于点C．若△OBC和△OAD的周长相等，则OD的长是( )
5√2
A．2 B．2 √2 C． D．4
2
【答案】B
【解析】【解答】解：当x=0时，y=2
∴点B（0,2）
当y=0时，-x+2=0
解之：x=2
∴点A（2,0）
∴OA=OB=2
∵点C在线段OD的垂直平分线上
∴OC=CD
∵△OBC和△OAD的周长相等，
∴OB+OC+BC=OA+OD+AD
∴OB+BC+CD=OA+OD+AD
OB+BD=OA+OD+AD即OB+AB+AD=OB+OD+AD
∴AB=OD
在Rt△AOB中AB=OD=√OA2+OB2=√22+22=2√2
故答案为：B
【分析】利用函数解析式求出点A、B的坐标，就可证得OA=OB，再利用线段垂直平
分线的性质，易证OC=CD，然后根据△OBC和△OAD的周长相等，就可证得
AB=OD，利用勾股定理求出OD的长。
5．如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，
m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1
B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1
C．当x＜0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大
{y-mx=0 {x=1
D．关于x，y的方程组 的解是
y-kx=b y=2
【答案】B
【解析】【解答】解：
∵一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的
图象相交于点M（1，2），
∴关于x的方程mx＝kx＋b的解是x＝1，A判断符合题意，不符合题意；
关于x的不等式mx≥kx＋b的解集是x≥1，B判断不符合题意，符合题意；
当x＜0时，函数y＝kx＋b的值比函数y＝mx的值大，C判断符合题意，不符合题意；
{y-mx=0 {x=1
关于x，y的方程组 的解是 ，D判断符合题意，不符合题意；
y-kx=b y=2
故答案为：B．
【分析】根据条件结合图象对各项进行判断即可。
6．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣5，0），B（0，7）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＜﹣5 B．x＞﹣5 C．x＞7 D．x＜﹣7
【答案】B
【解析】【解答】根据题意，kx+b＞0，
即函数y＝kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣
5，
故不等式kx+b＞0的解集是：x＞﹣5，
故答案为：B．
【分析】根据直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣5，0），B（0，7）两点，再结合函数图象
进行求解即可。
7．如图，直线 l :y=x+3 与 l :y=mx+n 交于点 A(-1,b) ，则不等式
1 2
x+3>mx+n 的解集为（ ）
A．x≥-1 B．x<-1 C．x≤-1 D．x>-1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线L：y=x+3与L：y=mx+n交于点A（-1，b），
1 2
从图象可以看出，当x＞-1时，直线L：y=x+3的图象都在L：y=mx+n的图象的上方，
1 2
∴不等式x+3＞mx+n的解集为：x＞-1，
故答案为：D．
【分析】观察函数图象得到，当x＞-1时，直线L：y=x+3的图象都在L：y=mx+n的
1 2
图象的上方，由此得到不等式x+3＞mx+n的解集．
二、填空题
3
8．已知直线 y ＝ - x+3 与坐标轴相交于A、B两点，动点P从原点O出发，以每
4
秒1个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，当点P的运动时间是 秒时，
△PAB是等腰三角形．【答案】 或9
3
【解析】【解答】∵直线 y ＝ - x+3 与坐标轴相交于A、B两点，
4
∴当x=0时,y=3,
当y=0时,x=4,
∴A(4,0),B(0,3),
∴AB= √32+42 =5,
当AB为腰时, AP=AB=5,
∴OP=OA+AP=4+5=9,
∵动点P的速度为每秒1个单位长度,
∴点P的运动时间是9秒;
当AB为底时, AP=BP,
设OP=x,则BP=4-x,
7
根据勾股定理得3²+x²=(4-x) ²,解得x= ,
8
7
故OP= ,
8
7
∴点P的运动时间是 秒.
8
【分析】由直线与x轴相交y=0可求得点A的坐标，根据直线与y轴相交x=0可求得
点B的坐标，根据PA=PB运用勾股定理可求解。
9．同一平面直角坐标系中，一次函数y=k x+b的图象与一次函数y=k x的图象如图所
1 2
示，则关于x的方程kx+b=k x的解为 .
1 2
【答案】x=-1
【解析】【解答】解：由函数图象，得两直线的交点坐标是（-1，-2），
所以，关于x的方程kx+b=k x的解为x=-1，
1 2
故答案为x=-1.
【分析】根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案.10．已知一次函数y=2x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，将这条直线进行
平移后交x轴、y轴分别交于C、D，要使A、B、C、D围成的四边形面积为4，则直
线CD的解析式为 .
【答案】y=2x-3或y=2x+ √17
【解析】【解答】解：∵一次函数y=2x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
1
∴A（- ，0），B（0，1），
2
设直线CD的解析式为y=2x+b，
b
∴C（- ，0），D（0，b），
2
1 b 1
当点C在x轴的正半轴时， （- + ）×（1-b）=4，解得b=5（舍去）或
2 2 2
b=-3，此时直线CD的解析式为y=2x-3；
1 b 1 1
当点C在x轴的负半轴时， b• - ×1× =4，解得b=- √17 （舍去）或b=
2 2 2 2
√17 ，此时直线CD的解析式为y=2x+ √17 ，
综上所述，直线CD的解析式为y=2x-3或y=2x+ √17 .
故答案为：y=2x-3或y=2x+ √17 .
【分析】根据一次函数的图象与坐标轴交点的坐标特点求出点A,B的坐标，根据平移
前后两直线平行得出其自变量的系数不变，故设直线CD的解析式为y=2x+b，根据直
线与纵坐标交点的坐标特点，用含b的式子表示出点C,D的坐标，然后分当点C在x
轴的正半轴时与当点C在x轴的负半轴时两种情况，利用割补法由四边形的面积是4
列出方程，求解即可算出b的值，从而即可求出直线的解析式。
1 1
11．如图：已知直线y＝ x和直线y＝﹣ x﹣4交于点P(﹣4，﹣2)，则关于x、y
2 2
1
{ x- y=0
2
的二元一次方程组 的解是 ．
1
x+ y=-4
2
{x=-4
【答案】
y=-21 1
【解析】【解答】直线y＝ x和直线y＝﹣ x﹣4交于点P(﹣4，﹣2)，此交点就
2 2
1 1
是由y＝ x和y＝﹣ x﹣4组成的方程组的解.
2 2
{x=-4
故答案为：
y=-2
【分析】两个一次函数的图象的交点坐标就是由这两个一次函数组成的方程组的解.
12．如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2．则下列结论：①m
＜0，n＞0；②直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）；③m与n满足m=2n-2；④当x
＞-2时，nx+4n＞-x+m，其中正确结论的个数是 个．
【答案】4
【解析】【解答】①∵直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，∴m＜0；
∵y＝nx＋4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，∴n＞0，
故结论①正确；
②将x＝−4代入y＝nx＋4n，得y＝−4n＋4n＝0，
∴直线y＝nx＋4n一定经过点（−4，0）．
故结论②正确；
③∵直线y＝−x＋m与y＝nx＋4n（n≠0）的交点的横坐标为−2，
∴当x＝−2时，y＝2＋m＝−2n＋4n，
∴m＝2n−2．
故结论③正确；
④∵当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，
∴当x＞−2时，nx＋4n＞−x＋m，
故结论④正确．
故答案为：4．
【分析】①由直线y＝−x＋m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx＋4n（n≠0）的图
象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确；②将x＝−4代入y＝nx＋
4n，求出y＝0，即可判断结论②正确；③代入交点坐标整理即可判断结论③正确；④
观察函数图象，可知当x＞−2时，直线y＝nx＋4n在直线y＝−x＋m的上方，即nx＋
4n＞−x＋m，即可判断结论④正确．三、解答题
13．已知直线 y=-2x+b 与 x 轴交于点 A(-3,0) ，求这条直线与 y 轴的交点坐
标.
【答案】解：将 A(-3,0) 代入 y=-2x+b ，得：
-2×(-3)+b=0 ，
解得： b=-6 ，
∴一次函数的解析式为 y=-2x+6 .
当 x=0 时， y=-2x+6=-6 ，
∴直线与 y 轴的交点坐标为（0，-6）.
【解析】【分析】根据已知点的坐标求出方程中的未知数；根据方程对应直线的性质，
当直线与x轴相交时，对应点的坐标的y值为0；当直线与y轴相交时，对应点的坐标
的x值为0，带入直线方程即可求出与坐标轴的交点.
14．直线 y=kx+2 过点 (1,3) ，直线 y=mx 过点 (-2,1) ，求不等式 kx+2≤mx
的解集.
【答案】解：将 (1,3) 代入 y=kx+2 得： 3=k+2 ，解得：k=1；
1
将 (-2,1) 代入 y=mx 得： 1=-2m ，解得： m=- ；
2
1
∴k=1 ， m=-
2
1
则可得 x+2⩽- x
2
4
解得 x⩽-
3
4
故答案为： x⩽-
3
【解析】【分析】将 (1,3) 代入 y=kx+2 ，可解得k的值，将 (-2,1) 代入 y=mx
，可解得m的值，再将k和m的值代入不等式，解不等式即可
四、综合题
15．如图，直线l ：y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线l ：y＝x+1与x
1 2
轴交于点C，两直线l 、l 相交于点B，连AC.
1 2（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：∵两直线l1、l 相交于点B，
2
{y=-2x+4
联立方程组 ，
y=x+1
{x=1
解得 ，
y=2
∴点B（1，2），
∵直线l ：y＝﹣2x+4 y轴交于点A，
1
令x=0，y=4，
∴点A（0，4），
∵直线l ：y＝x+1与x轴交于点C，
2
令y=0，x+1=0，
解得x=-1，
∴点C（-1，0），
{0=-k+b
设AC的解析式为 y=kx+b ，代入坐标得 ，
b=4
{k=4
解得 ，
b=4
AC的解析式为 y=4x+4 ；
（2）解：设直线l ：y＝x+1与y轴的交点为E，
2
令x=0，y=1，
∴点E（0，1），
∴AE=4-1=3，
1 1 1 1
∴S ABC= S +S = AE⋅OC+ AE⋅x = ×3×1+ ×3×1=3 .
△ ΔAEC ΔABE 2 2 B 2 2【解析】【分析】（1）联立直线l 、l 求出x、y，可得点B的坐标，令y=-2x+4中的
1 2
x=0，求出y的值，据此得点A的坐标，令y=x+1中的y=0，求出x的值，可得点C的
坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C的坐标代入求出k、b，据此可得直线
AC的解析式；
（2）易得E（0，1），则AE=3，然后根据S =S +S 进行计算.
△ABC △AEC △AEB
