19.2.3一次函数与方程、不等式(精讲)-重要笔记八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)（解析版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_旧版-可参考_07专项讲练

19.2.3一次函数与方程、不等式 一次函数与一元一次方程的关系 y kxb k b y 一次函数 （ ≠0， 为常数）.当函数 ＝0时，就得到了一元一次方 kxb0 x kxb 程 ，此时自变量 的值就是方程 ＝0的解.所以解一元一次方程就可以 转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. y kxb k b x 从图象上看，这相当于已知直线 （ ≠0， 为常数），确定它与 轴交 点的横坐标的值. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出 它的解的个数． 题型1：一次函数图象与一元一次方程的解 1.如图，直线 y＝kx+b（k≠0）与 x 轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是 （ ） A．k＞0，b＜0 B．直线上两点（x ，y ），（x ，y ），若x ＜x ，则y ＞y 1 1 2 2 1 2 1 2 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断． 【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，故A错误；∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大， （x ，y ），（x ，y ）是直线y＝kx+b上的两点，若x ＜x ，则y ＜y ，故B错误； 1 1 2 2 1 2 1 2 ∴直线y＝kx+b经过一、二、三象限，故C错误； ∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0）， ∴当x＝﹣5时，函数y＝kx+b＝0， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，一次函数与一元一次方程，熟知一 次函数的性质是解题的关键 【变式1-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程 kx+b＝2的解是（ ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定 【分析】根据点P的坐标即可得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2）， ∴当y＝2时，x＝3， 即方程kx+b＝2的解为x＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，体现了数形结合的思想，理解点 P的 坐标的意思是解题的关键． 【变式1-2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结 论中正确的是（ ） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【分析】先把两个点的坐标代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y＝﹣ 2x+3，再逐个判断即可． 【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），把点的坐标代入y＝kx+b得： ， 解得：k＝﹣2，b＝3， 即函数的解析式是y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．∵k＝﹣2，b＝3， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．当y＝1时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1， 即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程， 一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关 键． 【变式1-3】如图，根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）当x＝1时，代数式kx+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可． 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式kx+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键 题型2：解一元一次方程与一次函数坐标轴交点 2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（ ） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一 次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线 y＝ax+b 确定它与x轴交点的横坐标值可得答案． 【解答】解：∵一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3， ∴函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（3，0）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程 ax+b＝0的解就 是一次函数y＝ax+b与x轴交点的横坐标值． 【变式2-1】如图所示，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x方程 kx+b＝0（k≠0）的解是x＝ ﹣ 5 ． 【分析】利用x＝﹣5时，函数y＝kx+b的函数值为0可判断关于x的方程kx+b＝0的 解． 【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：利用图象法求出相应一元一次方程的 解． 【变式2-2】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A，B两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜4的解集．【分析】（1）将点A（3，4），B（0，﹣2）的坐标分别代入y＝kx+b，利用待定系 数法即可解决问题； （2）观察图象写出函数值小于4时自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）将点A（3，4），B（0，﹣2）的坐标分别代入y＝kx+b中， 得 ， 解得 ， 故一次函数的解析式y＝2x﹣2； （2）观察图象可知：关于x的不等式kx+b＜4的解集为x＜3． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式等知 识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 【变式2-3】已知一次函数y＝2x﹣1的图象如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）写出一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标； （2）写出方程2x﹣1＝3的解； （3）写出函数值小于3时自变量x的取值范围． 【分析】确定坐标轴的交点坐标、观察图象与x轴的位置关系，即可求解． 【解答】解：（1）从图象看，x＝0，y＝﹣1； y＝0，x＝ ； 故一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标分别为（ ，0），（0，﹣1）； （2）从图象看，当x＝2时，y＝3；∴方程2x﹣1＝3的解为x＝2； （3）从图象看，当x＜2时，y＜3； ∴函数值小于3时自变量x的取值范围为x＜2． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，通过观察图象求解 不等式问题，是此类问题的一般方法 一次函数与一元一次不等式 axb axb axb 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ＞0或 ＜0或 ≥0或 axb a b a ≤0（ 、 为常数， ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次 y axb 函数 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的 取值范围. x axb a 注意：求关于 的一元一次不等式 ＞0（ ≠0）的解集，从“数”的角度看， x y axb y axb 就是 为何值时，函数 的值大于0？从“形”的角度看，确定直线 x y 在 轴（即直线 ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 如何确定两个不等式的大小关系： axbcxd （a≠c，且ac0）的解集 y axb的函数值大于 y cxd的函数值时的自变量x取值范围直线 y axb 在直线y cxd的上方对应的点的横坐标范围． 题型3：一次函数图象与一元一次不等式解集 3.．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（ ） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞2 D．x＜2 【分析】结合图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＞2时，y＜0， 所以不等式kx+b＜0的解集为x＞2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次 函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式3-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＜2的解集是（ ）A．x＜0 B．x＞2 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜2 【分析】根据图象直接写出不等式的解集． 【解答】解：如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，2），则kx+b＜2的解集 是x＜0． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是学会利用图象确定不等 式的解集，属于中考常考题型． 【变式3-2】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说 法正确的有（ ） A．y随x的增大而减小 B．k＞0，b＜0 C．当x＞﹣2时，y＜0 D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2 【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从 而可以解答本题． 【解答】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A，B错误； 又∵图象与x轴交于（﹣2，0）， ∴kx+b＝0的解为x＝﹣2，故D正确； 当x＞﹣2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误； 故选：D．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形 结合的思想解答是解答本题的关键 【变式3-3】若k﹣3＞0，则一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣3的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】先求出k的取值范围，再判断出3﹣k及k﹣3的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵k﹣3＞0，解得k＞3， ∴3﹣k＜0，k﹣3＞0， ∴一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣3的图象过一、二、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题 的关键． 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度 看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值； 从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两 个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的 解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点， 则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程 组就无解. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 反之也成立. 题型4：一次函数图象与二元一次方程组的解 4.如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程 kx+b＝4的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【分析】先利用y＝x+2求得交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行 判断． 【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2， 所以一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4）， 所以关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键． 【变式4-1】若方程组 的解所对应的点在一次函数y＝kx﹣3的图象上，求k 的值． 【分析】通过解方程组求得方程组 的解所对应的点的坐标，然后将其代 入一次函数的解析式y＝kx﹣3，通过解方程可以求得k的值． 【解答】解： 由①×3﹣②，得 y＝1，③ 将③代入①，解得 x＝﹣2； ∴方程组 的解所对应的点是（﹣2，1）； 又∵点（﹣2，1）在一次函数y＝kx﹣3的图象上， ∴1＝﹣2k﹣3， 解得k＝﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解二元一次方程组．二元一次方 程组是由两个含有两个未知数的方程组成的，要求解，就要把二元转化为一元． 【变式4-2】如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下列说法正确的个数是（ ） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d不经过第一象限； ③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4； ④d﹣b＝4（a﹣c）． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而 可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， ①a＜0，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确； ②a＜0，d＜0，则函数y＝ax+d经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说 法正确； ③由一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4知，方 程ax+b＝cx+d的解是x＝4，故③说法正确； ④4a+b＝4c+d可以得到4（a﹣c）＝d﹣b，故④说法正确； 综上所述，正确的结论有4个． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关 键是明确题意，利用数形结合的思想解答 【变式4-3】已知：如图一次函数y ＝﹣x﹣2与y ＝x﹣4的图象相交于点A． 1 2 （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y ＝﹣x﹣2与y ＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC 1 2 的面积．【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组 ，解此方程组即可求出 点A的坐标； （2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积 公式可得结果； （3）根据函数图象以及点A坐标即可求解． 【解答】解：（1）解方程组 ，得 ， 所以点A坐标为（1，﹣3）； （2）当y ＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）； 1 当y ＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）； 2 ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， ∴△ABC的面积＝ ×6×3＝9； 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使 一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考 查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积 题型5：函数的交点坐标与一元一次不等式的解集 5.如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3） （1）求m，a的值； （2）根据图象，直接写出不等式2x＞ax+4的解集． 【分析】（1）首先把A（m，3）代入y＝2x，求得m的值，然后利用待定系数法求出a的值， （2）以交点为分界，结合图象写出不等式2x＞ax+4的解集即可． 【解答】解：（1）把（m，3）代入y＝2x得，2m＝3， 解得 ， ∴点A的坐标为（ ，3）， ∵函数y＝ax+4的图象经过点A， ∴ ， 解得 ； （2）由图象得，不等式2x＞ax+4的解集为 ． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标 【变式5-1】如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象 有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等 式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＜0；直线y＝ax+2与直线y＝mx+b 的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2；当x＞﹣2时，直线y＝ ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2． 【解答】解：由图象可知，a＞0，b＜0，故①②正确； 直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝ ﹣2，故③正确； 当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集 是x＞﹣2，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，数形结合是 解题的关键【变式5-2】如图，观察图象，可以得出不等式组 的解集是（ ） A． B． C．0＜x＜2 D． 【分析】观察图象可知，当x＞﹣ 时，3x+1＞0；当x＜2时，﹣0.5x+1＞0，即0.5x ﹣1＜0．所以该不等式组的解集是这两个不等式解集的交集． 【解答】解：由图象知，函数y＝3x+1与x轴交于点（﹣ ，0），即当x＞﹣ 时， 函数值y的范围是y＞0； 因而当y＞0时，x的取值范围是x＞﹣ ； 函数y＝﹣0.5x+1与x轴交于点（2，0），即当x＜2时，﹣0.5x+1＞0，即0.5x﹣1＜ 0； 因而当y＞0时，x的取值范围是x＜2； 所以，原不等式组的解集是﹣ ＜x＜2． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式．认真体会一次函数与一元一次不等式 （组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键 【变式5-3】如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4） （1）求直线AB的表达式； （2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标； （3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）， ，解得 ， ∴y＝x+5 （2）∵若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C， ∴ ，解得 ，故点C（﹣3，2）． ∵y＝﹣2x﹣4与y＝x+5分别交y轴于点E和点D，∴D（0，5），E（0，﹣4）， 直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积为： DE•| |＝ ×9×3＝ x ． ∁ （3）根据图象可得x＞﹣3． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函 数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息 题型6：含绝对值的一元一次函数问题 6.能否利用图象法解不等式：|x+1|﹣|2x﹣3|＜0． 【分析】首先在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|x+1|与y＝|2x﹣3|的图象，设两图 象交于点A、B，分别求出A、B两点的坐标，再观察图象，函数y＝|x+1|落在y＝|2x ﹣3|的图象下方的部分对应的x的取值范围即为所求． 【解答】解：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|x+1|与y＝|2x﹣3|的图象， 两图象交于点A、B． 如果x+1＝2x﹣3，x＝4，A点坐标为（4，5）， 如果x+1＝3﹣2x，x＝ ，B点坐标为（ ， ）． 由图象可知，当x＜ 或x＞4时，函数y＝|x+1|的图象在y＝|2x﹣3|图象的下方，即|x+1|＜|2x﹣3|， 所以|x+1|﹣|2x﹣3|＜0的解集为x＜ 或x＞4． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求 使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角 度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集 合．准确画出两个函数的图象是解题的关键． 【变式6-1】请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数 y＝|2x﹣1|的图象和性 质，并解决问题． （1）根据函数表达式，填空m＝ 3 ，n＝ 1 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 m 1 0 n 3 5 … （2）利用（1）中表格画出函数y＝|2x﹣1|的图象． （3）观察图象，当x ＜ 时，y随x的增大而减小； （4）利用图象，直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集．【分析】（1）根据函数y＝|2x﹣1|，可以计算出当x＝﹣1和x＝1对应的函数值，从 而可以将表格补充完整； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象，可以直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围； （4）根据函数图象，可以直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集． 【解答】解：（1）∵y＝|2x﹣1|， ∴当x＝﹣1时，y＝3，当x＝1时，y＝1， 故答案为：3，1； （2）函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当x＜ 时，y随x的增大而减小，故答案为：＜ ； （4）画出函数y＝x+1的图象， 由图象可得， 不等式|2x﹣1|＜x+1的解集是0＜x＜2． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明 确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式6-2】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2| x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程： （1）列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 11 8 m 2 ﹣1 0 1 n 3 … 直接写出m、n的值：m＝ 5 ，n＝ 2 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象． （3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而 减小 （填写“增大”或“减 小”）； （4）已知函数y＝﹣ x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等 式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣ x+4的解集 ﹣ 3 ≤ x ≤ 3 ．【分析】（1）把x＝﹣3、2分别代入y＝2|x+1|﹣x﹣2即可求得m、n的值； （2）描点连线即可作出函数图象即可； （3）观察函数图象，即可得出当x≤﹣1时，y随x的增大而减小， （4）观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝5； 把x＝2代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝2； ∴m＝5，n＝2， 故答案为：5，2； （2）描点连线作出如下图所示函数图象， （3）观察图象，当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，故答案为：减小； （4）从图上看，两个函数的交点为（﹣3，5）、（3，3）， 故不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣ x+4的解集为：﹣3≤x≤3． 【点评】本题考查了一次函数图象与性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合思 想是解决问题的关键 题型7：一元一次函数与数形结合的综合问题 7.如图：直线l ：y＝kx与直线l ：y＝mx+n相交于点P（1，1），且直线l 与x轴， 1 2 2 y轴分别相交于A，B两点，△POA的面积是1． （1）求△POB的面积； （2）直接写出kx＞mx+n的解集． 【分析】（1）先根据△POA的面积是1求出A点坐标，再将A、P两点的坐标代入y ＝mx+n，得到直线l 的解析式，再求出B点坐标，进而求出△POB的面积； 2 （2）利用函数图象，写出直线l 在直线l 上方所对应的自变量的范围即可． 1 2 【解答】解：（1）∵△POA的面积是1，直线l ：y＝kx与直线l ：y＝mx+n相交于 1 2 点P（1，1）， ∴ OA×1＝1， ∴OA＝2， ∴A（2，0）． 将A（2，0），P（1，1）代入y＝mx+n， 得： ，解得： ， ∴直线l 的解析式为：y＝﹣x+2， 2 ∴x＝0，y＝2， ∴B（0，2）． ∴S△BOP ＝ ×2×1＝1； （2）由图象可知，当x＞1时，直线l 在直线l 上方，即kx＞mx+n， 1 2 所以kx＞mx+n的解集为x＞1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也 考查了利用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积． 【变式7-1】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A、B在直线l上，根据图象 回答下列问题： （1）写出方程kx+b＝0的解； （2）写出不等式kx+b＞2的解集； （3）若直线l上的点P（m，n）在线段AB上移动，则m、n的取值范围分别是什 么？ 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0对应的自变量的范围即可； （2）结合函数图象，写出函数值大于2对应的自变量的范围即可； （3）利用一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝﹣2； （2）当x＞2时，y＞2， 所以不等式kx+b＞2的解集为x＞2； （3）﹣2≤m≤2，0≤n≤2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次 函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式7-2】如图，直线y＝kx+2与直线y＝ x相交于点A（3，1），与x轴交于点B． （1）求B点坐标； （2）根据图象写出不等式组0＜kx+2＜ x的解集．【分析】（1）根据直线y＝kx+2与直线y＝ x相交于点A（3，1），与x轴交于点B 可以求得k的值和点B的坐标； （2）根据函数图象可以直接写出不等式组0＜kx+2＜ x的解集． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与直线y＝ x相交于点A（3，1），与x轴交于 点B， ∴3k+2＝1， 解得k＝ ， ∴ ， 当y＝0时， ，得x＝6， ∴点B的坐标为（6，0）； （2）由图象可知，0＜kx+2＜ x的解集是3＜x＜6． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答问题． 题型8：实际应用问题 8.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由 A地到B地，行驶过程中路程y（千 米）与时间x（分钟）的函数关系的图象如图： （1）谁先出发？先出发多长时间？谁先到达终点？先到多长时间？ （2）分别求出甲、乙两人的行驶速度； （3）请根据图象回答：在甲行驶途中，在什么时间段内：①甲在乙的前面？②两人 相遇？③甲在乙的后面？（不包括起点和终点）【分析】（1）根据函数图象解答即可； （2）根据速度＝总路程÷总时间，列式计算即可得解； （3）根据函数图象解答即可，利用待定系数法求一次函数解析式分别求解即可． 【解答】解：（1）甲先出发，先出发10分钟．乙先到达终点，先到达30﹣25＝5 （分钟）； （2）甲的速度为：y甲 ＝ ＝12（千米/小时）， 乙的速度为：y＝ ＝24（千米/时）； （3）由图象可得：10＜x＜25时，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）． 设y甲 ＝kx， ∵y甲 ＝kx经过，（30，6）， ∴30k＝6， 解得k＝ ， 所以，y甲 ＝ x； 设y乙 ＝k 1 x+b， ∵y乙 ＝k 1 x+b经过（10，0），（25，6）， ∴ ， 解得 ，所以y乙 ＝ x﹣4． 联立得 ，解得 ， ∴0＜x＜20时，甲在乙的前面；x＝20时，甲与乙相遇；20＜x＜30时，甲在乙后 面． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式以及识 别函数图象的能力 【变式8-1】如图所示，L ，L 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的 1 2 售价+电费，单位：元）与照明时间x（h）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命 都是2000h，照明效果一样． （1）根据图象分别求出L ，L 的函数关系式． 1 2 （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ （3）小亮房间计划照明500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，观察图象，用哪种 灯照明最省钱？（简要说明理由即可）． 【分析】（1）理由待定系数法，把问题转化为解方程组即可． （2）根据题意列出方程即可解决问题． （3）观察图象，可知17＜26，由此即可判断． 【解答】解析：（1）设L 的解析式为y ＝k x+b ，L 的解析式为y ＝k x+b ． 1 1 1 1 2 2 2 2 由图可知L 过点（0，2），（500，17）， 1 ∴ ， ∴k ＝0.03，b ＝2， 1 1 ∴y ＝0.03x+2（0≤x≤2000）． 1 由图可知L 过点（0，20），（500，26）， 2 同理y ＝0.012x+20（0≤x≤2000） 2 （2）两种费用相等，即y ＝y ， 1 2则0.03x+2＝0.012x+20， 解得x＝1000．∴当x＝1000时，两种灯的费用相等． （3）用白炽灯， 理由：由图象可知，17＜26， ∴y ＜y ， 1 2 ∴用白炽灯便宜． 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法，一元一次方程等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 【变式8-2】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往 A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S甲 （千米）、S乙 （千米）与 行驶时间t（时）的函数图象的一部分． （1）分别求出S甲 、S乙 与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）； （2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇； （3）当两车相距300千米时，求t的值． 【分析】（1）根据函数图象可以分别求得S甲 、S乙 与t的函数关系式； （2）将t＝0代入S甲 ＝﹣180t+600，即可求得A、B两城之间的距离，然后将（1） 中的两个函数相等，即可求得t为何值时两车相遇； （3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得t的值． 【解答】解：（1）设S甲 与t的函数关系式是S甲 ＝kt+b， ，得 ， 即S甲 与t的函数关系式是S甲 ＝﹣180t+600， 设S乙 与t的函数关系式是S甲 ＝at， 则120＝a×1，得a＝120， 即S乙 与t的函数关系式是S甲 ＝120t； （2）将t＝0代入S甲 ＝﹣180t+600，得 S甲 ＝﹣180×0+600，得S甲 ＝600， 令﹣180t+600＝120t，解得，t＝2， 即A、B两城之间的距离是600千米，t为2时两车相遇； （3）由题意可得， |﹣180t+600﹣120t|＝300， 解得，t ＝1，t ＝3， 1 3 即当两车相距300千米时，t的值是1或3． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条 件．