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第 4 节 幂函数与二次函数
考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了
解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) .
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) .
零点式：f(x)＝a(x－x )(x－x )(a≠0)，x ，x 为f(x)的零点.
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(2)二次函数的图象和性质
y＝ax2＋bx＋c y＝ax2＋bx＋c
函数
(a>0) (a<0)
图象
(抛物线)定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)当n是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，故(1)错误.
(4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误.
2.(2021·青岛联考)不等式(x2＋1)>(3x＋5)的解集为( )
A.∪(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(4，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)
答案 A
解析 不等式(x2＋1)>(3x＋5)等价于x2＋1>3x＋5≥0，
解得－≤x<－1或x>4.
所以原不等式的解集为
∪(4，＋∞).3.函数y＝x－的大致图象是( )
答案 B
解析 由幂函数的性质可知，函数y＝x－的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A、C错
误；
函数y＝x－为偶函数，故D错误.
4.已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
答案 －1
解析 由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，
∴α<0，取α＝－1.
5.(易错题)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，
＋∞)上是减函数，则n＝________.
答案 1
解析 由题意知n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验n＝1符合题意.
6.(2022·杭州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的定义域和值域都为[1，a]，则
b＝________.
答案 5
解析 f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，
所以f(x)在[1，a]上为减函数，
又f(x)的值域为[1，a]，
所以
∴a＝2，a＝1(舍)，∴b＝5.
考点一 幂函数的图象和性质1.已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，
则( )
A.p，q均为奇数，且＞1
B.q为偶数，p为奇数，且＞1
C.q为奇数，p为偶数，且＞1
D.q为奇数，p为偶数，且0＜＜1
答案 D
解析 由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，
所以p为偶数，则q为奇数.
因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以0＜＜1.
2.(2021·衡水调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln
π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.
3.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
答案 D
解析 因为y＝x在第一象限内是增函数，
所以a＝＞b＝，
因为y＝是减函数，
所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.
4.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的
图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN
＝NA，那么a－＝________.
答案 0
解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝log，b＝log，
∴a－＝log－＝0.
感悟提升 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个
条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x轴(简记为“指大图
低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进
行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点二 求二次函数的解析式
例1 (1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2
对称；③对任意x ，x ∈(－∞，0)，且x ≠x ，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式
1 2 1 2
________.(只要写出一个即可)
答案 f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
解析 由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2
＋1，
此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，
∵对任意x ，x ∈(－∞，0)，且x ≠x ，
1 2 1 2
都有＜0，
等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，
故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝
________.
答案 －4x2＋4x＋7
解析 法一 (利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，
∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x ＝2，x ＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
感悟提升 求二次函数解析式的方法
训练1 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0，0)和(－2，0)，且有最
小值－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意
x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
答案 x2－4x＋3
解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
考点三 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象
例2 (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，
图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的
为( )
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
答案 AD
解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误.
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.
感悟提升 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中
有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交
点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系
成立的条件.
角度2 二次函数的单调性与最值
例3 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线
x＝－∈[－2，3]，
∴f(x) ＝f＝－－3＝－，
min
f(x) ＝f(3)＝15，
max
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x) ＝f(3)＝6a＋3，
max
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x) ＝f(－1)＝－2a－1，
max
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
感悟提升 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三
点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及
分类讨论的思想求解.
角度3 二次函数的恒成立问题
例4 (1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a
的取值范围是________.
答案
解析 由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立.
当x＝0时，－3＜0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a＜－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a＜.
综上，实数a的取值范围是.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m
＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________.
答案 (－∞，－)
解析 由题意知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立，
∴mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立，
∴∴m∈(－∞，－).
感悟提升 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是
不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的
最值问题.
训练2 (1)若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值
为________.
答案 －3
解析 可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，
∴f(x) ＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
min
(2)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值
范围是________.
答案 (－∞，－1)
解析 f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x) ＝g(1)＝－m－1.
min
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是
(－∞，－1).
1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A.1或3 B.1
C.3 D.2
答案 B解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的
图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d
C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c
答案 B
解析 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，
由题图知a＞b＞c＞d.
3.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系
是( )
A.a0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上
递增.
∴f(x) ＝f＝－＝－.
min
②当>1，即0x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，
－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k
