文档内容
19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
教学内容 19.2.3一次函数与方程、不等式 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：根据一次函数的图象解决一元一次方程、不
等式、二元一次方程组的求解问题，培养抽象能力和应用能力.
核心素养 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习理解一次函数与方程、不等式的关
目标 系，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过运用一次函数与方程、不等式的关系解
决有关现实问题，学生会运用数据形成合理判断或决策，感悟数据的价值.
1.理解一次函数与方程、不等式的关系.
知识目标 2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解
问题.
教学重点 理解一次函数与方程、不等式的关系.
根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问
教学难点
题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课 一、问题回顾，导入新知
导入
设计意图：用趣味的游戏
教师叙述：今天数学王国搞了个家庭聚会，各个
思考，把学生的注意力吸
成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y
引至课堂，让学生带着问
= 5”.
题学习本课，激发学生的
探索欲望.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：耐心提示，把
课堂交给学生自主发现，
知识点一：一次函数与一元一次方程
培养学生的自主学习能力
和观察能力.
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函
数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 =
-1．
师生活动：学生独立思考，发现三个方程的等式
设计意图：通过对比，实
左边都相同.教师提示，把等式右边看作 y ，则
现由方程到一次函数的过
三个等式可以表示同一个函数.
渡.
学生观察力不够时，教师可以提示从函数值、函
1数图象两个分享理解，学生独立思考，小组讨论
并作答，教师完成总结.
从函数值看：
解这 3 个方程 ⟺ 一次函数 y = 2x + 1，
当 y 分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
从函数图象看：
当直线 y = 2x + 1上，
取纵坐标分别为 3，
0，-1 的点，它们的横 设计意图：通过学生思考
坐标的取值. 填空，梳理一次函数与一
元一次方程的关系，加深
学生的理解.
总结：
师生活动：学生独立思考，共同作答填空完成总
结.
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a、b、c为
常数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数
值为_____时的自变量_____的值.
归纳总结
我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b =
0 的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗?
设计意图：通过做题巩固
对一次函数与一元一次方
程的关系的理解，提高学
生的应用能力.
练习
设计意图：通过做题巩固
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ，
对一次函数与一元一次方
)，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
程的关系的理解，培养发
散性思维和应用能力.
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx
＋2 与 x 轴交点坐标为( ， ).
师生活动：学生独立思考，完成练习，教师巡
视，选两名学生作答.
例1 一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每
秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 设计意图：学生通过对问
米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方 题1的探究，已经掌握了
面进行解答) 一定方法，这里要求学生
2学以致用，培养自主探究
能力.
师生活动：学生独立思考，完成练习，教师巡
视，选三名学生板书，教师规范解题思路.
知识点二：一次函数与一元一次不等式
问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从
函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把
你得到的结论推广到一般情形吗？
(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2
＜-1．
师生活动：学生独立思考，小组讨论，选代表回
答问题.师生共同完成总结.
从函数值的角度看：
解这 3 个不等式 ⟺ 在一次函数 y = 3x + 2
的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变
量 x 的取值范围.
从函数图象的角度看：
解这 3 个不等式 ⟺
在直线y = 3x + 2 上
取纵坐标分别满足大于
2、小于 0、小于 -1的 设计意图：通过做题巩固
点，看它们的横坐标分 对一次函数与一元一次不
别满足什么条件. 等式的关系的理解，培养
学生的应用能力.
归纳总结
一次函数与一元一次不等式的关系
设计意图：锻炼学生应用
一次函数与一元一次不等
式的关系及图象进行解题
的能力，体会方法的简便
与优越.
例2 画出函数 y = -3x + 6
的图象，结合图象求：
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和
-3x + 6 < 0 的解集；
设计意图：用显示情境问
(2) 当 x 取何值时，y < 3 ? 题，激发学生的探究兴
3师生活动：教师分析解题思路，学生独立思考并 趣，体会本节课内容在实
作答，选两名学生板书，教师规范解题步骤. 际生活中的作用.
练习3. 如图，已知直线 y = kx + b 与 x 轴交
于点(-4，0)，则当 y > 0 时，x 的取值范围是(
)
A. x > -4
B. x > 0
设计意图：学生独立思
C. x < -4
考，锻炼前面学习的探究
D. x < 0
方法.
知识点三：一次函数与二元一次方程组
问题3 1号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1
m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从
海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升．
两个气球都上升了 1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔
y (m) 与气球上升时间 x (min) 的函数关系．
师生活动：学生独立思考写出
两个函数解析式.
设计意图：学生独立思
考，锻炼前面学习的探究
思考1：一次函数与二元一次 方法.
方程有什么关系？
师生活动：教师提问：以一次
方程 y =0.5 x + 15 举例，可以从几个方向思考
关系？
预设：从方程观点和函数观点看，他们可以互相
转化.
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方
程有什么关系？
三、当堂 在同一坐标内，(1) 画出 y = 0.5x + 15 的图象；
练习，巩 (2)画出以方程 y -
固所学 0.5x = 15 的 5 个
解为坐标的点.你
有什么发现？ 设计意图：考查学生能否
根据一次函数的图象解决
设计意图：学生独 一元一次方程的求解问
4立思考，完成计算，教师巡视；再小组讨论观察 题.
的结论，选代表回答.
教师播放课件总结.
设计意图：考查对一次函
数与二元一次方程组的关
系的掌握.
设计意图：考查学生能否
根据一次函数的图象解决
一元一次不等式的求解问
总结：一般地，任何一个二元一次方程都可以转 题.
化为一次函数 y = kx + b (k、b 为常数，且k
≠ 0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一
个一次函数，也对应一条直线．
三、当堂练习，巩固所学
1．一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方
程 kx + 3 = 0 的解为 .
2．若方程组 �� 2 x - y = - 1 ， 的解为 �� x = 2， 则一次
� �
函数 y = 2x
��
+3 x1- 与y= 1y， = 3x - 1
��
的y图=5象，交点坐
标为______.
3.一次函数 y= 4x + 5 与 y = 3x + 10 的图象
1 2
如图所示，则 4x + 5 > 3x + 10 的解集是（
）
A. x < 5
B. x > 5
C. x > -5
D. x > 25
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 ⟺ 对应一次函数
板书设计
解一元一次不等式 ⟺ 对应一次函
解二元一次方程组 ⟺ 求对应
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
5通过前面的学习，学生已经掌握了从数的角度认识一次方程和一次不等
式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集.而本节课通过函数
图像动态的变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等
教学反思
式之间的关系.但学生对函数的理解还停留在直观的解析式或者图象上，学生
很难想到利用函数的观点来看待方程和不等式的问题，从函数的对应关系来
辩证的理解三个数学模型.
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