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19.2 二次根式的乘法与除法
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1. 理解二次根式的乘除法法则，能进行二次根式的乘除运算；
2. 理解最简二次根式含义，能逆用二次根式的乘除法则化简二次根式.
【题型1】最简二次根式的辨识
1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·山西运城·月考）下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是 B．16的算术平方根是4
C． 是最简二次根式 D．27的立方根是
3．（25-26九年级上·重庆·月考）下列二次根式不为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】化简二次根式
5．（25-26八年级上·北京平谷·期中）已知 ，化简 ．
6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步
化简．(1) ；(2) ；(3) ．
8．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简．
， ， ， ， ．
【题型3】根据条件求参数字母的值
10．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方数相同，
若 是正整数，则 的最小值为 ．
11．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方数相同．若
是正整数，则 的最小值为 ．
12．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知 是一个正整数， 也是正整数，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【题型4】二次根式的乘除运算
13．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）计算： ．
14．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算：15．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1) ；
(2) ．
16．（25-26八年级上·上海·月考）计算： ．
17．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： ．
18．（2025九年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(3) ．
【题型5】二次根式乘除运算的应用
19．（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为 ，宽为
，乙的长为 ，求乙的宽（结果保留根号）．20．（24-25八年级上·河北邢台·期末）长方体容器中装有一定量的水，相关数据（长度单位： ）如图
所示，另有一些大玻璃球和小玻璃球，每个大玻璃球的体积是小玻璃球的 倍．
(1)求长方体容器的底面面积．
(2)嘉嘉通过实验发现，若单独加入小玻璃球若干个或单独加入大玻璃球若干个都会使水面上升 （水没
过全部玻璃球），且加入的小玻璃球比大玻璃球多两个，求小玻璃球的体积．
20．（24-25八年级下·广东惠州·月考）已知一个长方体的体积是 ，宽是 ，高是 ，求它
的长．
22．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲和乙均是体积为 且高为 的长方体容器，甲盒子底面是
边长为 的正方形，乙盒子底面是长为 ，宽为 的长方形．
(1)若 ， ， ．求乙容器的体积 ；
(2)若 ， ，求甲盒子的侧面积
23．（23-24八年级下·湖南邵阳·月考）超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为 ，其中v表示车速（单位： ），d表示刹车
后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得 ， ，
已知该路段限速 ，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶ ， ，结果保留一
位小数）参考答案
题号 1 2 3 4 6 12
答案 A B D B C B
1．A
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，
不能含有分母”是解题关键．
根据最简二次根式的定义求解即可．
【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查平方根、算术平方根、最简二次根式和立方根的概念．
根据定义逐一判断各选项的正确性．
【详解】解：∵负数没有平方根，∴A错误；
∵16的算术平方根是4，∴B正确；
∵ ，可化简为整数，不是最简二次根式，∴C错误；
∵27的立方根是3，不是 ，∴D错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．最简
二次根式要求被开方数不含分母且不含平方因子.
【详解】解： ，
∴ 不是最简二次根式．
故选：D．4．B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能
开得尽方的因数或因式．逐一检查选项，A、C、D均不符合条件，只有B符合．
【详解】解： ． ，故该选项不符合题意；
． 是最简二次根式，故该选项符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
故选：B．
5.答案： /
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性
质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
6. C
【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，
根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可．
【详解】A． ，正确；
B． ，正确；
C． ，故选项错误；
D． ，正确．
故选：C．7．(1)不是最简二次根式，化简为
(2)不是最简二次根式，化简为
(3)不是最简二次根式，化简为
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
（1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；
（2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；
（3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简．
【详解】（1）解： 被开方数中含有开得尽方的因数4，
不是最简二次根式，则 不是最简二次根式．
．
（2） 被开方数中含有分母，
不是最简二次根式．
．
（3） 被开方数中含有分母，
不是最简二次根式．
．
8．(1)(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质
把二次根式化为最简二次根式．
把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式；
把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式；
把根号下的 化为分数，再进行分母有理化；
把二次根式分母有理化．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
9．见解析
【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根
式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可．
【详解】解： 是最简二次根式；不是最简二次根式，化简为 ；
是最简二次根式；
不是最简二次根式，化简为 ；
不是最简二次根式，化简为 ．
10.答案为
【分析】本题考查了二次根式的性质；由 ，被开方数为 ，故 化简后被
开方数也应为 ，即 是 的倍数且为完全平方数的 倍，列出可能值求 ．
【详解】解： ，被开方数为2．二次根式 与 化成最简二次根式后被开
方数相同，故 化简后被开方数也为2．
设 （k为正整数），则 ．
由 ，得 ， ， 为正整数，
故 ， ， ．
当 时， ；
时，
时， ．
综上所述： 的最小值为 ．
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查了最简二次根式，由 ，且与 是同类二次根式，则分
时， 时， 时， 时，进行讨论，然后求出 的值并
检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方数相同，
∴ 时， ；时， ；
时， ；
时， （舍去）；
∴符合条件的正整数 的值为 ， ， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
12．B
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由
是正整数且 ，得到 是完全平方数，即可求出 的最小值．
【详解】解： 是正整数， ，
是完全平方数，
的最小值为5．
故选：B．
13．
【分析】本题考查了立方根，二次根式的乘法运算，化简绝对值，先运算立方根，二次根
式的乘法以及化简绝对值，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
．
14．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据二次
根式的乘除法和加减法法则计算即可．
【详解】解：原式．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算乘法即可；
（2）先化简二次根式，再计算除法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
16．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：．
17．
【分析】此题考查了二次根式的乘法和实数的混合运算，先计算二次根式的乘法、算术平
方根、立方根，最后计算加减即可．
【详解】解：原式 ．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可；
（2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
19．乙的宽为
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积计算公式求出甲的面积，即可
得到乙的面积，再用乙的面积除以乙的长即可求出乙的宽．【详解】解：
，
∴乙的宽为 ．
20．(1)
(2)
【分析】（ ）根据长方形的面积公式列式计算即可；
（ ）设小玻璃球的体积为 ，则大玻璃球的体积为 ，设加入的小玻璃球 个，
则加入的大玻璃球 个，根据题意列出方程求出 的值，进而列出方程求出 的值即
可；
本题考查了二次根式乘法的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
答：长方体容器的底面面积为 ；
（2）解：设小玻璃球的体积为 ，则大玻璃球的体积为 ，设加入的小玻璃球
个，则加入的大玻璃球 个，
由题意得， ，
解得 ，
∴ ，解得 ，
答：小玻璃球的体积为 ．
21．2
【分析】本题考查了二次根式的除法的实际应用，解题关键是正确列出算式．
先列出算式，再利用二次根式的除法法则计算．
【详解】解：∵一个长方体的体积是 ，宽是 ，高是 ，
∴它的长为 （ ）．
答：它的长为2 ．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关
键．
（1）利用长方体的体积公式计算即可求解；
（2）由题意得甲、乙底面积相同，可得 ，据此即可求解．
【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积 ；
（2）解：∵长方体体积相同，高相同，
∴甲、乙底面积相同．
∴ ，
∴ ，
∴甲盒子的侧面积为： ．
23．该汽车超速了，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算
法则，根据二次根式性质进行运算即可．
【详解】解：该汽车超速了；理由：
∵ ， ， ，∴
．
故该汽车超速了．
