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19.2 二次根式的乘法与除法
第1课时 二次根式的乘法
1.理解和掌握二次根式的乘法法则：√a·√b＝√ab（a≥0，b≥0）.经
历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系.
2.理解和掌握积的算术平方根的性质：√ab＝√a·√b（a≥0，b≥0）.
体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系.
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化
简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.
重点：会利用积的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的乘法
运算.
难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.
知识链接：上节课我们学习了二次根式的性质，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：二次根式的乘法法则
问题1：（教材P6探究）计算下列各式，观察计算结果，你能发现
什么规律？
（1）√4×√9＝ 6 ，√4×9＝ 6 ；
（2）√16×√25＝ 2 0 ，√16×25＝ 2 0 ；
（3）√36×√49＝ 4 2 ，√36×49＝ 4 2 .
规律：①被开方数都是正数；②左边的两个二次根式的乘积等于右
边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘积等于
右边的一个二次根式的被开方数.
问题2：你能用字母表示你发现的规律吗？归纳总结：二次根式的乘法法则：√a·√b＝√ab（a≥0，b≥0）.即二
次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
（教材P6例1）计算：
√1 √2 √5
（1）√3×√5； （2） ×√27； （3） × .
3 5 8
解：（1）√3×√5＝√3×5＝√15；
√1 √1
（2） ×√27＝ ×27＝√9＝3；
3 3
√2 √5 √2 5 √1 1
（3） × ＝ × ＝ ＝ .
5 8 5 8 4 2
【对应训练】教材P7练习第1题.
探究点二：积的算术平方根的性质
把√a·√b＝√ab（a≥0，b≥0）反过来，可以得到积的算术平方根的
性质：√ab＝√a·√b（a≥0，b≥0）.
问题3：a，b的取值有什么特点？积的算术平方根的性质和二次根
式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？
a，b都是非负数.积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的
逆用，可以用来化简二次根式.
（教材P7例2）化简：（1）√16×81；（2）√4a2b3（a≥0，
b≥0）.
解：（1）√16×81＝√16×√81＝4×9＝36；
（2）√4a2b3＝√4·√a2·√b3＝2·a·√b2·b＝2a√b2·√b＝2ab√b.
提示：被开方数4a2b3含有偶数次因数4（4＝22）和因式a2，b2，它
们是开得尽方的因数和因式，被开方后可以移到根号外.
归纳总结：当二次根式根号内三个或三个以上的数或式相乘，
√a·b·…·k＝√a·√b·…·√k（a≥0，b≥0，…，k≥0）.
【对应训练】教材P7练习第2题.
（教材P7例3）计算：（1）√14×√7；（2）3√5×2√10；（3）
√1
√3x· xy.
3解：（1）√14×√7＝√14×7＝√72×2＝√72×√2＝7√2；
（2）3√5×2√10＝3×2×√5×10＝6√52×2＝6√52×√2＝6×5√2＝30√2
；
√1 √ 1
（3）√3x· xy＝ 3x· xy＝√x2y＝√x2·√y＝x√y.
3 3
归纳总结：当二次根式根号外的因数不为1时，m√a·n√b＝mn√ab
（a≥0，b≥0）.
【对应训练】教材P7练习第3题.
1.化简√8的结果是（ B ）
A.2 B.2√2 C.－2√2 D.±2√2
2.计算√2×√10的结果应是（ B ）
A.±√5 B.2√5 C.4√5 D.20
3.若√x·√x－6＝√x（x－6），则（ A ）
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
4.若√a＝m，√b＝n，则√100ab＝ 1 0 m n （用含m，n的代数式表
示）.
5.计算：
1 √1
（1）√32× ＝ 2√2 ； （2）√4x· ＝ 2 ；
2 x
（3）√（－144）×(-169）＝ 15 6 .
6.[教材变式]计算或化简：
√5 √ 27 1
（1） × ； （2）9√18×（－ √54）；
3 125 6
（3）√18m2n（m＞0）.
3
解：原式＝ . 解：原式＝－27√3. 解：原式＝3m√2n.
5
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
