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19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加法与减法
1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可
以合并的二次根式.
2.理解和掌握二次根式加减的运算方法，会正确进行二次根式的加
减运算.
3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认
真细致的良好学习习惯.
重点：二次根式加减法则的理解及应用.
难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减
运算.
知识链接：前面我们学习了二次根式的乘法和除法，回顾一下相关
知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：可以合并的二次根式
问题1：（教材P13思考）如何计算√27＋√12？
被开方数不同无法直接相加，可以将√27和√12化成被开方数相同的
形式，类比整式运算中的合并同类项进行运算.
问题2：将√27与√12化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什
么？
√27＝3√3，√12＝2√3，可以合并，由于它们有共同的因数√3，可以
利用分配律进行合并.
即√27＋√12＝3√3＋2√3＝（2＋3）√3＝5√3.归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数
相同的二次根式.
若√5和最简二次根式3√2m－1可以合并，则m＝ 3 .
【对应训练】下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ D ）
A.√8与√3 B.√2与√12 C.√5与√15 D.√75与√27
探究点二：二次根式的加减
（教材P13例1）（在配套课件中展示）
（教材P13例2）（在配套课件中展示）
问题3：计算m√a＋n√a－p√a，并说明其中的依据.
m√a＋n√a－p√a＝（m＋n－p）√a.将√a看成共同的因式，依据是分
配律.
问题4：教材P13例1和例2的计算中先做了什么？后做了什么？
先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的
二次根式进行合并.
归纳总结：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简
二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
问题5：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二
次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项.
注意：（1）若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成（假）
分数，进而化为最简二次根式；（2）原式中若有括号，要先去括号，
特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
【对应训练】教材P14练习第1题和第2题.
探究点三：二次根式加减的应用
（教材P14例3）有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否
采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和
18dm2的正方形木板？解：大正方形木板的边长为√18dm.因为√18＜5，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为（√8＋√18）dm.
而√8＋√18＝2√2＋3√2＝（2＋3）√2＝5√2，
由√2＜1.5可知5√2＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块
木板的长，所以这块木板够长.因此，可以用这块木板按要求截出两
个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
【对应训练】教材P14练习第3题.
1.下列二次根式中，能与√3合并的是（ C ）
A.√4 B.√8 C.√12 D.√24
2.计算√8－√2的正确结果是（ D ）
A.4 B.√6 C.2 D.√2
3.下列计算正确的是（ D ）
A.√2＋√3＝√5 B.3＋√2＝3√2 C.√4－√2＝√2 D.√18－√8＝√2
4.计算：
（1）√27＋√48＝ 7√3 ；（2）√50－√8＝ 3√2 .
5.[高频易错]若最简二次根式√a与－7√2a－5能够合并，则a＝ 5
.
6.已知长方形相邻两边长分别为√12，√75，则它的周长是 1 4√3 .
7.[教材变式]计算：
1√2 1√3
（1）√45－√20＋√5； （2） ＋ .
2 3 3 2
√6
解：原式＝2√5. 解：原式＝ .
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（其他课堂拓展题，见配套PPT）
