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第 19 章 二次根式
19.3 二次根式的加减
第 1 课时 二次根式的加减
【素养目标】
1. 理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二
次根式.(重点)
2. 理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.(难点)
3. 通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良
好学习习惯。
【复习导入】
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式？
问题2 化简下列两组二次根式， 每组化简后有什么共同特点？
(1) √8,√18,√0.5 ; (2) √80,√45,√20 .
【合作探究】
探究点1: 可以合并的二次根式
问题1: 如何计算 √27+√12 .
问题2: 将√27 与√12 化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什么？
【归纳总结】
一般地，二次根加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数
相同的二次根式合并。
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式) 相加，根指数和被开
方数(式)不变。如：
m√a + n√a = ( m + n )√a
第 1 页【典例精析】
例1 若 √5 和最简二次根式 3√2m−1 可以合并，则m =______ .
【练一练】
1. 下列各组二次根式中，化简后能合并的是 ( )
A. √8 与 √3 B. √2 与 √12
C. √5 与 √15 D. √75 与 √27
探究点2：二次根式的加减
例2 计算：
(1) √80−√45 (2)
√1
√9a + √25a (3) 2√12 − 6 + 3√48.
3
思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
思考：如何合并同类二次根式？
合并同类二次根式的方法是：
(1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2) 找——找出被开方数相同的二次根式；
(3) 并——把被开方数相同的二次根式合并。
“一化简二判断三合并”
例3 计算：
1 3
(1) (√12+√20)+2(√3−√5) ; (2) (√3−√2)− (√2−√27) .
2 4
【练一练】
2. 计算：
√1
(1) √24−√6+√3−√27 ; (2) √80−2√5− .
5
第 2 页探究点3: 二次根式的加减应用
例4 有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式， 在这块木板
上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
【练一练】
3. 有一个等腰三角形的两边长分别为 5√2 , 2√6 ，求其周长。
第 3 页当堂反馈
1. 下列二次根式中，能与 √3 合并的是( )
A. √4 B. √8 C. √12 D. √24
2. 计算 √8−√2 的正确结果是 ( )
A. 4 B. √6 C. 2 D. √2
3. 下列计算正确的是 ( )
A. √2+√3=√5 B. 3+√2=3√2
C. √4−√2=√2 D. √18−√8=√2
4. 计算：
(1) √27+√48=_______ ; (2) √50−√8=_______ .
6. [高频易错]若最简二次根式 √a 与 −7√2a−5 能够合并，则 _______ .
6. 已知长方形相邻两边长分别为 √12 , √75 ，则它的周长是_____.
7. (教材变式)计算：
1√2 1√3
(1) √45−√20+√5 ; (2) + .
2 3 3 2
第 4 页参考答案
复习导入
问题1 (1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
问题2 化简后被开方数相同
探究点1: 可以合并的二次根式
例1 m = 3 .
【练一练】1. D.
探究点2：二次根式的加减
例2 解：(1) √80−√45=4√5−3√5=√5 ;
(2) √9a + √25a = 3√a + 5√a = 8√a .
√1
(3) 2√12−6 +3√48=4√3−2√3+12√3
3
例3 解：(1) .
(√12+√20)+2(√3−√5)=2√3+2√5+2√3−2√5=4√3
(2)
1 3 1 1 3 9 11 5
(√3 − √2) − (√2 − √27) = √3 − √2 − √2 + √3 = √3− √2.
2 4 2 2 4 4 4 4
【练一练】
2. 解： (1) √24−√6+√3−√27=2√6−√6+√3−3√3=√6−2√3
√1 1 √5 9
(2) √80 −2√5 − = √80 −2√5− = 4√5 − 2√5 − = √5
5 √5 5 5
探究点3: 二次根式的加减应用
例4 解：大正方形木板的边长为√18 d m. 因为√18<5，所以这块木板够宽。
两块正方形木板的边长的和为 (√8+√18)d m ，而
√8+√18=2√2+3√2=(2+3)√2=5√2. 由 √2<1.5 可知 5√2<7.5 ,
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长。因此，
可以用这块卡板按要求截出两块面积分别是8dm2 和 18dm2 的正方形木板。
【练一练】3. 解：① 当腰长为 5√2 时， ∵5√2+5√2=10√2>2√6 ,
∴ 此时能构成三角形，周长为 10√2+2√6 ;
② 当腰长为 2√6 时， ∵2√6+2√6=4√6>5√2 ,
∴ 此时能构成三角形，周长为 5√2+4√6 .
当堂反馈
1. C. 2. D. 3. D. 4. (1) 7√3 ; (2) 3√2 .
5. a = 5 . 6. 14√3 .
√6
7. (1) 解：原式 =2√5 . (2) 解：原式 = .
3
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