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19.3（第 1 课时）二次根式的加减（原卷版）
目 录
类型一、同类二次根式..............................................................................................................................................1
类型二、二次根式的加减运算..................................................................................................................................2
类型三、分母有理化..................................................................................................................................................3
类型四、比较二次根式的大小..................................................................................................................................4
类型五、二次根式的应用..........................................................................................................................................5
类型一、同类二次根式
1．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
3．下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
5．下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为 ．10．已知最简二次根式 与 可以合并，则x的值是 ．
11．已知 为最简二次根式，且能够与 合并，则 的值是 ．
12．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 .
13．若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为 ．
14．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m的值为 ．
15．已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ．
类型二、二次根式的加减运算
16．下列各式中运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．矩形相邻两边长分别为 ， ，则它的周长是（ ）
A． B． C．4 D．
20．已知 ， ，则化简 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
21．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．下列二次根式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．计算： ．
24．计算
25．在数轴上，点 表示 ，点 表示 ，则点 与点 之间的距离是 ．
26．化简： ．27．化简 的结果是 ．
28．计算： ， ．
29．计算： ．
30．计算： ．
31．计算：
(1) ；
(2) ．
32．计算：
(1)
(2)
33．计算：
34．计算：
(1) ；
(2) ．
35．定义两种新运算，规定： ， ，其中a、b为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的解．
类型三、分母有理化
51．二次根式 的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
52．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
53．下列各式中， 的有理化因式是（ ）．A． B． C． D．
54． 的倒数是（）
A． B． C． D．
55．阅读下列解题过程：
；
；
观察上面解题过程， 的值为（ ）
A． B． C． D．10+
56．不等式 的解集是 ．
57．不等式 的解集是 ．
58．分母有理化： ．
59． 的倒数是 ．
60．先化简，再求值：已知 ，求 的值．
类型四、比较二次根式的大小
61．已知： ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．
62．已知 ， ， ，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
63．下列比较大小结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
64．已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
65．设 ， ， ，则a，b，c之间的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
66．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
67．已知： ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
68．比较大小： （填“>”“<”或“=”）
69．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
70．比较大小： ；（填“<”，“=”或“>”）．
71．比较大小： （填“>”“=”或“<”）．
72．比较大小： （填“＞”或“＜”）．
73．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
74．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较 和 的
大小，我们可以把a和b分别平方．
∵ ，
∴ 而 ，
∴ ．请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 的大小，c_______d；（填写>，<或者=）
(2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明．75．已知： ，求证：
类型五、二次根式的应用
76．如图（单位： ），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为 ，最
大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
77．如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
78．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的
三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 ．已知 的三边长 a，
b，c分别为 2， ，4，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
79．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为 和 的两个小正方形，剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
80．若一个长方形的长为 ，宽为 ，则这个长方形的面积为 ．
81．一个长方形的面积为 ，其中一边长为 ，则另一边长为 （结果化为最简二次根式）．
82．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么三角形的面积 （海伦公
式）．若 中， ， ， ，请利用上述公式求出 的面积 ．
83．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若
两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为 ，宽为 ，则圆形扇面的周长为
．
84．如图是一块长方形空地 ，计划在正方形 区域种植绿植，在正方形 区域种植花卉，
在长方形 区域设置体育健身器材．已知正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
求长方形健身区域 的面积．
85．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏 ，用于展示校园文化．已知宣传栏的长 为 ，
宽 为 ．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为 、宽为
的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．
(1)计算长方形宣传栏 的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
86．若 ，则 的值为（）
A．4 B． C．2 D．1．若 ，则 ．
2．设 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是 ．
3．已知 ， ，则代数式 的值是 ；
4．若 ，则称x和y是关于3的平衡数．
(1) 与 是关于3的平衡数； 与 是关于3的平衡数；
(2)已知m为整数，若 ，请说明 与 是关于3的平衡数；
(3)已知 为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ．
1．例如： ．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或
者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论：
①若a是 的小数部分，则 的值为 ；
② ；
③已知 ， ，则 ；
④设实数m，n满足 ，则 ．其中说法正确的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比
较大小也会取得很好的效果．例如，比较 和 的大小，我们可以把 和 分别平方．
， ，则 ， ， ， ．
请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较 ， 的大小， （填写“ ”“ ”或“ ”）．
(2)猜想 和 之间的大小，并说明理由．
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较
和 的大小，可以先将它们分子有理化如下：
， ， ， ．
(3)根据材料，请选择合适的方法比较 与 的大小，写出具体比较过程．
4．已知 ，求 的值．
小明是这样解答的：
解：因为 ，所以
所以 ，即 ，所以
所以 ．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简： ________；
(2)比较大小： ________ （填“ ”，“ ”或“ ”）
(3)计算： ；
(4)若 ，求 的值．
5．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1： ；
例2： ， ， ；
利用以上结论解答以下问题：
(1) _____；
(2)利用上面结论，求 的值．6．已知x ，则 的值．
