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2017 年江苏省高考数学试卷
一.填空题
1．（5分）已知集合 A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为
．
2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．
3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为
200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有
的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入 x的值为 ，则输出y的值是
．
5．（5分）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ．
6．（5分）如图，在圆柱O O 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线
1 2
均相切，记圆柱O O 的体积为V ，球O的体积为V ，则 的值是 ．
1 2 1 2
第1页 | 共11页7．（5分）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个
数x，则x D的概率是 ．
8．（5分） ∈ 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐
近线分别交于点P，Q，其焦点是F ，F ，则四边形F PF Q的面积是 ．
1 2 1 2
9．（5分）等比数列{a }的各项均为实数，其前 n项为S ，已知S = ，S =
n n 3 6
，则a = ．
8
10．（5 分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万
元/次，一年的总存储费用为 4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最
小，则x的值是 ．
11．（5分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若 f
（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ，
与 的夹角为 α，且 tanα=7， 与 的夹角为 45°．若 =m +n （m，
n R），则m+n= ．
∈
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆
O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．
第2页 | 共11页14．（5分）设f（x）是定义在 R上且周期为 1的函数，在区间[0，1）上，f
（x）= ，其中集合D={x|x= ，n N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解
∈
的个数是 ．
二.解答题
15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面
BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
16．（14分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x [0，π]．
∈
第3页 | 共11页（1）若 ∥ ，求x的值；
（2）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E： =1（a＞b＞
0）的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在
1 2
椭圆E上，且位于第一象限，过点F 作直线PF 的垂线l ，过点F 作直线PF 的
1 1 1 2 2
第4页 | 共11页垂线l ．
2
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l ，l 的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
1 2
18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ
的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线
EG，E G 的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为
1 1
12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不
计）
第5页 | 共11页（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC 上，求l没入
1
水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG 上，求l没入
1
水中部分的长度．
19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a }满足：a +a +…+a +a +…
n n﹣k n﹣k+1 n﹣1 n+1
+a +a =2ka 对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a }是“P（k）数列”．
n+k﹣1 n+k n n
（1）证明：等差数列{a }是“P（3）数列”；
n
（2）若数列{a }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a }是等差数
n n
列．
第6页 | 共11页20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b R）有极值，且导函数f′
（x）的极值点是 f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的
∈
值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b2＞3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求a的取值范
围．
第7页 | 共11页二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满
分0分）
21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC2 =AP•AB．
第8页 | 共11页[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知矩阵A= ，B= ．
（1）求AB；
（2）若曲线C ： =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C ，求C
1 2 2
的方程．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），
曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到
直线l的距离的最小值．
第9页 | 共11页［选修4-5：不等式选讲］
24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
【必做题】
25．如图，在平行六面体 ABCD﹣A B C D 中，AA ⊥平面ABCD，且AB=AD=2，
1 1 1 1 1
AA = ，∠BAD=120°．
1
（1）求异面直线A B与AC 所成角的余弦值；
1 1
（2）求二面角B﹣A D﹣A的正弦值．
1
第10页 | 共11页26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n N*，n≥2），这些球除颜色外
全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放
∈
入如图所示的编号为 1，2，
3，…，m+n的抽屉内，其中第 k次取出的球放入编号为 k的抽屉（k=1，2，
3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的
数学期望，证明E（X）＜ ．
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