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2.4图案规律问题和日历问题专项（20题）
一．选择题（共13小题）
1．观察下列图形，图①中有7个空心点，图②中有11个空心点，图③中有15个空心点，…，按此规律
排 列 下 去 ， 第 50 个 图 形 中 有 （ ） 个 空 心 点 ．
A．196 B．199 C．203 D．207
【分析】由第1个图形中空心点的个数为：7，第2个图形中空心点的个数为：11＝7+4，第3个图形中
空心点的个数为：15＝7+4+4，…得出第n个图形中空心点的个数为：7+4（n﹣1），从而可求解．
【解答】解：∵第1个图形中空心点的个数为：7，
第2个图形中空心点的个数为：11＝7+4＝7+4×1，
第3个图形中空心点的个数为：15＝7+4+4＝7+4×2，
…
∴第n个图形中空心点的个数为：7+4（n﹣1）＝4n+3．
∴第50个图形中空心点的个数为：4×50+3＝203，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是从特殊到一般寻找规律．
2．观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“•”的个数是（ ）
A．128 B．162 C．200 D．226
【分析】本题是一道关于图形变化规律猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【解答】解：∵第1个图形中“•”的个数为：2＝2×12；第2个图形中“•”的个数为：8＝2×22；
第3个图形中“•”的个数为：18＝2×32；
……，
∴第n个图形中“•”的个数为：2n2，
第10个图形中“•”的个数为：2×102＝2×100＝200，
故选：C．
【点评】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到
此题蕴含的规律．
3．某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用
16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（ ）
A．22 B．25 C．28 D．32
【分析】根据已知图形得出第n个图中●的个数为3n+7，据此可得．
【解答】解：∵图①中●的个数为10，
图②中●的个数为13＝10+3＝10+3×1，
图③中●的个数为16＝10+3+3＝10+3×2，
…
∴第n个图中●的个数为：10+3（n﹣1）＝3n+7，
∴第⑥个图中●的个数为：3×6+7＝25．
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为3n+7．
4．下列图形是按照一定规律画出的．对于第n个图形，有x个正方形和一定数量的三角形，三角形的个数
可以表示为（ ）
A．4x﹣4 B．4n﹣4 C．4x+n D．4n+x【分析】首先求出前3个图形中三角形的个数，再根据个数和序数之间的关系可得答案
【解答】解：第1个图形中，有2个正方形和4个三角形，4＝4×（2﹣1）；
第2个图形中，有3个正方形和8个三角形，8＝4×（3﹣1）；
第3个图形中，有4个正方形和12个三角形，12＝4×（4﹣1）；
……，
∴第n个图形中，三角形的个数为4n或4x﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的变化的规律，逐一写出三角形个数与图形的序数的关系，从而得出规律是解
题的关键．
5．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方
形 的 个 数 为 （ ）
A．30 B．33 C．37 D．41
【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑧个图案中正方形的个数为4×8+1＝33，
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第 n个图形中有4n+1个正方形是解题的
关键．
6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图 4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10
个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）A．297 B．301 C．303 D．400
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
7．如图，每个图形都是由黑白棋子按一定规律摆放而成的：第1个图形有2个黑棋子和1个白棋子，第2
个图形有5黑棋子和1个白棋子，第3个图形有8个黑棋子和1个白棋子，第4个图形有11个黑棋子和
1个白棋子，…，依此规律，第10个图形中的黑棋子个数为（ ）
A．25 B．27 C．29 D．30
【分析】由题意可知：第1个图形有2个棋子，第2个图形有5个棋子，由规律可知：2＝3﹣1，5＝6﹣
1＝2×3﹣1，…，由此得出第n个图形中有（3n﹣1）个棋子，进一步代入求得答案．
【解答】解：∵第1个图形有3×1﹣1＝2个棋子，
第2个图形有3×2﹣1＝5个棋子，
第3个图形有3×3﹣1＝8个棋子，…，
∴第n个图形中有（3n﹣1）个棋子，∴第10个图形棋子的颗数为3×10﹣1＝29．
故选：C．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．
8．把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色
圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（
）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有（4+2）个黑色圆点，第③个图案中有
（4+2+2）个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝7计算即可．
【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有（4+2）个黑色圆点，
第③个图案中有（4+2+2）个黑色圆点，
第④个图案中有（4+2+2+2）个黑色圆点，
……
则第n个图形中黑色圆点的个数为4+2（n﹣1）＝2n+2，
当n＝7时，2n+2＝2×7+2＝16，
∴第⑦个图案中黑色圆点的个数为16．
故选：C．
【点评】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数
字变化规律．
9．如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二
个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒
根数为（ ）A．45 B．63 C．84 D．108
【分析】通过观察n＝1时，需要火柴的根数为：3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；
得到第n个图形需要火柴数为3×（1+2+3+…+n），按规律求解即可．
【解答】解：n＝1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3＝3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：9＝3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：18＝3×（1+2+3）；
……
n＝6时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+5+6）＝63．
故选B．
【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数
的关系．
10．如图是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个
图形有13个星星，…，第18个图形的星星个数为（ ）
A．171 B．189 C．190 D．208
【分析】把图案分为下面三角形和上面线段型两部分，分别求出它们的规律．
【解答】解：由题意可得，第 n 个图形中可分为上面是 n 个星星和下面摆成的三角形形状的共
个星星，
∴第n个图形中共有星星的个数为：n+ ＝n+ + +1＝ ，
∴当n＝18时， ＝ ＝162+45+1＝208，故选：D．
【点评】此题考查了图形变化类的规律问题的解决能力，关键是能根据图形观察、归纳、验证、归纳出
此题规律．
11．在2020年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（
）
A．28 B．34 C．58 D．82
【分析】设四个数中最小的数为 x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），进而可得出四
个数之和A＝4x+14，再分别代入A＝28，A＝34，A＝58，A＝82求出x的值，对照月历表后即可得出结
论．
【解答】解：设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），
∴四个数的和A＝x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝4x+14．
当A＝28时，x＝ ，
∵x为整数，
∴选项A不符合题意；
当A＝34时，x＝5，
∵x＝5在第一列，无法框出“S”型框，
∴选项B不符合题意；
当A＝58时，x＝11，
∵x＝11在第七列，无法框出“S”型框，
∴选项C不符合题意；
当A＝82时，x＝17，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了代数式求值，用含x的代数式表示出四个数之和是解题的关键．
12．小蓉在某月的日历上提出了如图所示的四个数a、b、c、d，则这四个数的和可能是（ ）A．24 B．27 C．28 D．30
【分析】用含a的代数式表示出b，c，d的值，将四个数相加可得出a+b+c+d＝4a+18，由a为正整数结
合四个选项即可得出结论．
【解答】解：依题意，可知：b＝a+1，c＝a+8，d＝a+9，
∴a+b+c+d＝4a+18．
∵a为正整数，
∴a+b+c+d＝4a+18＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，用含a的代数式表示出a+b+c+d是解题的关键．
13．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出 4个数（如图2），下列表示a，
b，c，d之间关系的式子中不正确的是（ ）
A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+d D．a+d＝b+c
【分析】观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可
得出结论．
【解答】解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+8．
A、∵a﹣d＝a﹣（a+8）＝﹣8，b﹣c＝a+1﹣（a+7）＝﹣6，
∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；
B、∵a+c+2＝a+（a+7）+2＝2a+9，b+d＝a+1+（a+8）＝2a+9，
∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；
C、∵a+b+14＝a+（a+1）+14＝2a+15，c+d＝a+7+（a+8）＝2a+15，
∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；
D、∵a+d＝a+（a+8）＝2a+8，b+c＝a+1+（a+7）＝2a+8，
∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．故选：A．
【点评】本题考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
14．如图是某月份的日历用一个方框圈出任意3×3个数，设最中间一个数是x，则用含x的代数式表示这9
个数的和是 9 x ．
【分析】根据横行相邻的两个数相差1，纵行两个数相差为7，表示出其它数字，求出之和即可．
【解答】解：根据题意得：方框圈出的9个数为x﹣8，x﹣7，x﹣6，x﹣1，x，x+1，x+6，x+7，x+8，
则这9个数的和是x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝9x．
故答案为：9x．
【点评】此题考查了列代数式，整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
15．如图为2008年十二月份的日历，用虚线正方形任意圈出6个数，若6个数中最小的数记作a，则最大
的数可记作 a + 9 ．
【分析】观察图表可知，同一列的相邻两行的两个数相差 7，同一行相邻两列的两个数相差1，若最小
的数记作a，则同一列的下一行的那个数是a+7，所以最大的数可记作a+9．
【解答】解：a+7+2＝a+9．
【点评】注意观察图表，找出同一列的数有什么关系．同一行的数有什么联系．
16．下表是某月的月历，用阴影圈出9个数，设这个阴影最中间的那个数是a，若它下方的第一个数和左
边的第一个数用含a的代数式表示，则这三个数的和为 3 a + 6 ．
1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
【分析】根据下边的比上边的多7，前面的一个比后面的少1，表示出其余两个数，相加即可得到这三
个数的和．
【解答】解：根据题意得：下方第一个数为a+7，左边第一个数为a﹣1，
则三个数的和为a+a+7+a﹣1＝3a+6．
故答案为：3a+6
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
17．在如图所示的2011年9月份日历中．如果任意选择如右图的阴影部分，那么其中的四个数a、b、c、
d又有什么规律呢？请用含a、b、c、d的等式表示： a + d ＝ b + c （写出一个即可） （其中a、b、
c、d四个数之间的大小关系 是a＜b＜c＜d，a、b、c、d整数）．
【分析】观察日历可得：a+d＝b+c，理由为：由14+21＝35，15+20＝35，可得出14+21＝15+20，进而
得到a+d＝b+c．
【解答】解：观察可得平行四边形对角线上的两个数的和相等，
∴14+21＝15+20，
∴a+d＝b+c．
故答案为：a+d＝b+c
【点评】此题考查了列代数式，解此类题的关键是弄懂题意，列出正确的代数式．
18．（1）在某月的月历表中，若用一个正方形框出 4个数，设左上角的数为a，则另外的三个数分别为
a +1 ， a + 7 ， a + 8 ；
（2）如图，用一个正方形框出3×3＝9个数，若方框正中心的数为a，则这9个数的和是 9 a ． ．【分析】（1）根据四个数的大小关系：横行相邻数相差1，竖列相邻两数相差7，列出另三个数；
（2）设正中心的数为a，并用a的代数式表示所框出的9个数，再求和．
【解答】解：（1）设第一个数为a，则另外的三个数分别为a+1，a+7，a+8．
故答案为：a+1，a+7，a+8；
（2）若方框正中心的数为a，则这9个数是：
a﹣8，a﹣7，a﹣6，a﹣1，a，a+1，a+6，a+7，a+8，
这9个数的和是：a﹣8+a﹣7+a﹣6+a﹣1+a+a+1+a+6+a+7+a+8＝9a．
故答案为：9a．
【点评】本题主要考查了列代数式，代数式求和．难度不大，弄清日历横行相邻数相差1，竖列相邻两
数相差7，运用这个规律列代数式．
19．图1是2022年1月份的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格
覆盖的四个日期分别记为a、b、c、d．
（1）直接填空：a+d ＝ b+c；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）当图2在图1的不同位置时，代数式a﹣2b+4c﹣3d的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不
是，请说明理由．
【分析】（1）设“九方格”中间的数为x，用x表示出a、b、c、d，再计算a+d和b+c，即可得出答案；
（2）设“九方格”中间的数为x，用x表示出a、b、c、d，代入a﹣2b+4c﹣3d计算，即可得出答案．【解答】解：（1）设“九方格”中间的数为x，则a＝x﹣8，b＝x+6，c＝x﹣6，d＝x+8，
∴a+d＝x﹣8+x+8＝2x，
b+c＝x+6+x﹣6＝2x，
∴a+d＝b+c，
故答案为：＝；
（2）代数式a﹣2b+4c﹣3d的值是定值，理由如下：
设“九方格”中间的数为x，则a＝x﹣8，b＝x+6，c＝x﹣6，d＝x+8，
∴a﹣2b+4c﹣3d
＝x﹣8﹣2（x+6）+4（x﹣6）﹣3（x+8）
＝x﹣8﹣2x﹣12+4x﹣24﹣3x﹣24
＝﹣68，
∴a﹣2b+4c﹣3d的值为定值，其定值为﹣68．
【点评】本题考查了代数式求值，会用参数表示出a、b、c、d的值是解题的关键．
20．如图是2021年3月的月历，回答下列问题．
（1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？
（2）若将十字框上下左右移动，但一定要框住月历中的5个数，设中间的数为a．
①用含a的式子表示b，c，d，e；
②求十字框中五个数的和，结果用含a的式子表示．
【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案；
（2）①根据图上的数之间的关系可得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a﹣1，e＝a﹣7；
②把a，b，c，d，e相加可求解．
【解答】解：（1）9+15+16+17+23＝80＝16×5，则带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数
的5倍．
（2）①b＝a+1，c＝a+7，d＝a﹣1，e＝a﹣7；
②a+a+1+a﹣1+a﹣7+a+7＝5a．
【点评】本题考查列代数式，根据日历表中的数字排列规律解决问题．
