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第 52 讲 空间几何体的表面积与体积
知识梳理
1. 空间几何体
(1)多面体
①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由
这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．
如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延
长后交于一点．
(2)旋转体
①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面．
②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体．
③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．
④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围
成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)
圆台的母线延长后交于一点．
⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过
球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离．
2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 体积
圆柱 S ＝ 2 π rh V＝Sh＝πr2h
侧
圆锥 S ＝ π rl V＝Sh＝πr2h＝πr2
侧
圆台 S ＝π(r＋r)l V＝(S ＋S ＋)h
侧 1 2 上 下
＝π(r＋r＋rr)h
1 2
直棱柱 S ＝Ch V＝Sh
侧
面积 体积
正棱锥 S ＝Ch′ V＝Sh
侧
正棱台 S ＝(C＋C′)h′ V＝(S ＋S ＋)h
侧 上 下
球 S ＝ 4 π R 2 V＝πR3
球面
3. 几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面
的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上
升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．
棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S'=180.0km2=180×106m2，
1 1
∴V = ℎ (S+S'+√SS')= ×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)
3 3
=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109 (m3 )．
故选：C．
2、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
【答案】C
【解析】
∵ 球的体积为36π，所以球的半径R=3,
设正四棱锥的底面边长为2a，高为ℎ，
则l2=2a2+
ℎ
2，32=2a2+(3−ℎ) 2,
所以6ℎ =l2，2a2=l2−ℎ 2
1 1 2 l4 l2 1( l6 )
所以正四棱锥的体积V = Sℎ = ×4a2×ℎ = ×(l2− )× = l4− ，
3 3 3 36 6 9 361( l5 ) 1 (24−l2 )
所以V'= 4l3− = l3 ，
9 6 9 6
当3≤l≤2√6时，V'>0，当2√6
