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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（07）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）
1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图
形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这
条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不 是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
2. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红
球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据概率公式计算，即可求解．
根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是 ．
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
3. 若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的
取值范围．
∵x2+x-k=0有两个实数根，
∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，
解得：k≥- ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 方程有两个
相等的实数根；Δ＜0 方程没有实数根是本题的关键．⇔ ⇔
4．某蔬菜种植基地2⇔018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均
增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
【答案】B
【解析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
依题意得：800（1+x）2＝968．
5. 如图，在 中，弦 相交于点P，若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据三角形的外角的性质可得 ，求得 ，再根据同弧所对的圆周角
相等，即可得到答案．， ，
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6. 如图，抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
1
虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L ，则图中两个阴影部分的面积和为
2
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分
的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
如图所示，
过抛物线L 的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
2
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
1∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L 向下平移两个单位长度得抛物线L ，则AD＝OC＝2，
1 2
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分 ＝S矩形OCDA ＝OA•AD＝1×2＝2．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞
0；④﹣ ＜0，正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【答案】C
【解析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c
＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对
称轴在y轴右侧，可得出﹣ ＞0，结论④错误．综上即可得出结论．
【解答】①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，结论①正确；
②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，结论②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；
④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，结论④错误．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与 x轴的交点，观察函数图象逐一分析四条结
论的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）
1. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．
【答案】
【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率．
∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，
∴摸出一个球是绿球的概率是 ．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
2. 若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．
【答案】2
【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
由题意可知：
， ，
，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式 求参数：方程有两个不相等的实数根时，
；方程有两个相等的实数根时， ；方程无实数根时， 等知识．会运用根的判别式和准确
的计算是解决本题的关键．
3. 如图，菱形 中，分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径画弧，分别交对角线 于点 ，
．若 ， ，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）【答案】
【解析】【分析】连接BD交AC于点G，证明 ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及
勾股定理求出AC，再由S ＝S －S △－S 得出答案．
阴影 菱形ABCD 扇形ADE 扇形CBF
【详解】连接BD交AC于点G，
∵四边形 是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵ ，
∴ ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴△BD＝2，
∴BG＝ ，
∴ ，
∴AC＝ ，
∴S ＝S －S －S ＝ ，
阴影 菱形ABCD 扇形ADE 扇形CBF
故答案为： ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部
分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
4．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果保留
）．
π
【答案】6 ．
π
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意得：2 r＝ ，解得：l＝3r，然后根据高为
4，利用勾股定理得r2+42＝（3r）2，从而求得底面半径和母线长π，利用侧面积公式求得答案即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2 r＝ ，
解得：l＝3r， π
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝ ，
∴母线长为3 ，
∴圆锥的侧面积为 rl＝ × ×3 ＝6 ．
5.如图,若四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称,则它们的对称中心是 ,点A的对称点是 ,点E
π π π
的对称点是 .BD∥ 且BD= .连接点A,点F的线段经过点 ,△ABD≌ .
【答案】点C;点F;点D;EG;EG;C;△FGE
【解析】根据对称中心的概念和性质解决即可。
6. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将 绕点D顺时针旋转 与 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若
，则 ______．
【答案】
【解析】 通过∠DFQ=∠DAQ=45°证明 A、F、Q、D 四点共圆，得到∠ FDQ=∠FAQ=45°，
∠AQF=∠ADF，利用等角对等边证明BQ=DQ=FQ=EQ，并求出 ，通过有两个角分别
相等的三角形相似证明 ，得到 ，将BQ代入DE、FQ中即可求出．
【详解】连接PQ，
∵ 绕点D顺时针旋转 与 完全重合，
∴DF=DE，∠EDF=90°， ，
∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAQ=∠BAQ=45°，
∴∠DFQ=∠DAQ=45°，∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角，
即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆），
∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，
∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°，
∴FQ=DQ=EQ，
∵A、B、C、D是正方形顶点，
∴AC、BD互相垂直平分，
在
∵点Q 对角线AC上，
∴BQ=DQ，
∴BQ=DQ=FQ=EQ，
∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE，
∴∠AQF=∠CDE，
∵∠FAQ=∠PED=45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了相似三角形、全等三角形、圆、正方形等知识，通过灵活运用四点共圆得到等弦
对等角来证明相关角相等是解题的巧妙方法．
7. 已知抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，过 ， 两点，且．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若点 ， 在抛物线上， ，且 ，则 ；
④当 时，关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】【分析】首先判断对称轴 ，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，
0）， ，当 时， ，求出 ，再代入 判断②，抛物线
，由点 ， 在抛物线上，
得 ， ， 把 两 个 等 式 相 减 ， 整 理 得
， 通 过 判 断 ， 的 符 号 判 断 ③ ； 将 方 程
写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得 ，再利用判别式即可判断
④．
【详解】 抛物线过 ， 两点，且 ，
，
，，即 ，
抛物线开口向下， ，
，故①正确；
若 ，则 ，
，
，故②不正确；
抛物线 ，点 ， 在抛物
线上，
∴ ， ，把两个等式相减，整理得
，
， ， ，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程 写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得 ，
，
， ，， ，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
三、解答题（本大题有5小题，共44分）
1. （4分）用分解因式解方程：（x+1）2＝2x+2
【答案】x ＝﹣1，x ＝1；
1 2
【解析】利用因式分解法求解即可；
∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝1；
1 2
2．（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转
60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠AOD= =120°- ，
∴190°-α=120°- ，解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
3.（9分）（2023四川凉山）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本
次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用 表
示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择 四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰
好选择 的概率．
【答案】（1）600人 （2）见解析 （3）
【解析】（1） 人，
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）由题意得，选择C景区的人数为 人，选择A景区的人数占比为
，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：（3）画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择 的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择 的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统
计图和画出树状图是解题的关键．
4. （10分）如图， 是 的直径， 是 的一条弦， 连接
（1）求证：
（2）连接 ,过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，若 为 的中
点，求证：直线 为 的切线．【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析
【解析】（1）证明：设 交 于点 ，连接 ，
由题可知，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接 ，
，，
同理可得： , ，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
直线 为 的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定
与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
5. （12分）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接
，设点P的纵坐标为m，当 时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线
与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）
（2）-3 （3） 或 或
【解析】（1）抛物线解析式 ，令 ，
可得 ，
解得 ， ，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
（2）对于抛物线 ，其对称轴为 ，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或 ，
故点C坐标为（4，-5），
∴ ，
，
当 时，可得 ，
解得 ；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令 ，整理可得 ，
其判别式为 ，
①当 时，解得 ，此时抛物线 与线段MN只有一个交点；
②当 即时，解方程 ，
可得 ，
即 ， ，
若 时，如图1，
由 ，可解得 ，此时有 ，且 ，
解得 ；
②当 时，如图2，
由 ，可解得 ，此时有 ，且 ，
解得 ；
综上所述，当抛物线 与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为 或
或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函数解决图形问
题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
