文档内容
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
一、教学目标
【知识与技能】
1.了解四边形及其有关概念.
2.了解四边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索四边形的
内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
3.了解四边形的不稳定性.
【过程与方法】
1.经历动手、作图的过程,进一步发展空间能力.
2.经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.
【情感态度与价值观】
经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.
二、课型
1 / 15新授课
三、课时
第1课时，共1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.了解四边形的边、顶点、内角、外角、对角线等有关概念.
2.了解四边形的内角和和外角和公式
3.四边形的不稳定性.
【教学难点】
1.在四边形的概念中，对“在同一平面内”的理解.
2.四边形的内角和与外角和的相关计算
五、课前准备
教师：课件、三角尺、四边形图片等。
学生：三角尺、直尺、四边形纸片。
六、教学过程
（一）导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观
2 / 15察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？（出示课件2）
（二）探索新知
1.师生互动，探究四边形的定义及其有关概念
教师问1：同学们想一想，什么是三角形呢？
学生回答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成
的图形叫作三角形.
做一做
教师讲解：请同学们拿出准备好的材料，随意画几个四边形.
教师问2：观察画四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出
什么是多边形吗？
学生回答：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相
接组成的封闭图形叫作四边形.（出示课件4）
3 / 15教师问 3：比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调
“在平面内”呢？怎样命名四边形呢？
学生交流，教师讲解并强调“在平面内”，并总结：这是因为三角
形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点就有可能不在同一
个平面内.根据边数的多少来命名为，有四条边就是四边形.
教师问4：回想三角形的表示方法，四边形应如何表示？
学生讨论回答并得出结论.
四边形用它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，
可以按顺时针或逆时针的顺序.（出示课件5）
教师问 5：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边
形的边、顶点、内角、外角和对角线.
学生讨论回答，教师引导如下：
边：组成四边形的各条线段；
内角：四边形相邻两边组成的角.
外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段.
4 / 15教师问 6：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到
什么结论？
学生讨论回答，并得出结论：
如图（1）这样，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，
整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.
（出示课件7）
如图（2）这样，此类四边形被一条边所在的直线分成了两部分，
不在这条直线同侧是凹四边形.
例：下列长度的两条线段与长度为 2，5的线段首尾依次相连能
组成四边形的是（ ）（出示课件8）
A．1，1 B．1，8 C．1，2 D．2，3．
师生共同解答总结：任意三条线段之和大于另一条线段的长度.
出示课件9，学生自主练习后口答，教师订正.
2.探究四边形的内角和定理
5 / 15教师问7：你知道三角形的内角和是多少度吗？
学生回答：三角形的内角和等于180°.
教师问8：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
学生回答：都是360°.（出示课件4）
教师问9：你能猜想四边形的内角和是多少度吗？
学生回答：四边形的内角和等于360°.
教师问10：你是如何得到这个结论的？你能用以前学过的知识
说明一下你的结论吗？
学生讨论回答并得出结论.（出示课件11）
证明：如图，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分成△ABC 和
△ACD 两个三角形.在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=（∠1+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D）
6 / 15=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
教师问11：同学们想一想，还有其他的证明方法吗？
学生讨论回答并得出结论.（出示课件12-14）
解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3–180°
=360°.
7 / 15解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
解法四：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD
将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
8 / 15所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°.
结论： 四边形的内角和为360°.
总结点拨：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，
转化到已经学了的三角形内角和求解.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么
关系？试说明理由.（出示课件15）
师生共同解答如下：
解：如图，四边形ABCD中，∠A+ C =180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，
所以∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.
9 / 15总结点拨：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也
互补.
出示课件16，学生思考后找同学口答，教师订正.
3.合作探索四边形的外角和
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作
四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
教师问12：看图想一想，四边形任意一个外角和它相邻的内角
有什么关系？
学生回答：互补
教师问13：四个外角加上它们分别相邻的四个内角和是多少？
学生回答：4×180°=720°（出示课件17）
10 / 15师生共同解答如下：（出示课件18）
解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC＋∠2=180°，
∠BCD＋∠3＝180°,
∠CDA＋∠4＝180°.
∴∠DAB＋∠1+∠ABC＋∠2+∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°.
而∠DAB+∠ABC+∠BCD＋∠CDA=360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=360°.
结论：四边形的外角和等于360°.
例1 . 如图，设三角形纸片ABC的内角和为a，外角和为b，将
该纸片剪掉一角得四边形BCDE，设四边形BCDE的内角和为m，外角
和为n，则下列结论正确的是（ ）
A. m=a,n=b
B. m=a+180°, n=b+180 °
C. m=a, n=b+180°
D. m=a+180°,n=b
11 / 15师生共同解答如下：（出示课件19）
解析：根据题意，得a=180°，b=360°，m=360°，n=360°.
所以m=a+180°,n=b .
答案：D
出示课件20，学生思考后找同学口答，教师订正.
4.探索四边形的不稳定性
教师问14：观察下图并动手操作，将四边形木架上再钉一根木
条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还
会改变吗?
12 / 15学生动手操作，通过实验得出结论：第一幅图中的木架形状会发
生改变，第二幅图中的木架形状不会发生改变
教师总结：
（1）四边形不具有稳定性.
（2） 三角形具有稳定性.（出示课件21）
教师问15：四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四
边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实
例吗？
学生回答：活动晾衣架、伸缩门、遮阳棚等（出示课件24-26）
例 ：2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展
和载人月球探测两大任务,如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，
灵活性强，其原理主要是运用了（ ）（出示课件27）
A．三角形的稳定性
B．四边形的不稳定性
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．两点之间线段最短
13 / 15师生共同解答：B
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧。
（三）课堂练习（出示课件29-34）
练习课件第29-34页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1. 本节主要学习四边形及有关概念，四边形的内角和与外角和
公式以及四边形的不稳定性.
2.本节涉及的思想方法是类比思想.
（五）课前预习
预习下节课（21.1.2）的相关内容。
知道多边形及其有关概念
七、课后作业
14 / 151、教材49页练习1,2,3；
2、培优练习21.1.1.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节的知识内容是在三角形有关知识的基础上，类比对三角形有
关性质的探索过程，对四边形及其有关性质进行探究.在教学过程中，
教师通过不断提问，以引导学生从新知识中发现与以前所学知识的
相似之处，运用类比思想解决问题.
在教学设计上，关注学生的思维变化，关注学生得出结论的过程，
让学生体会数学知识的环环相扣，重视基础知识的学习.
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