文档内容
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
【素养目标】
1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、内角与外角，区别凸四边形，探索
并掌握四边形内角和与外角和公式，了解四边形的不稳定性.
2.在进行性质探索的过程中，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意
识与能力.
3.在探究讨论中培养与他人合作交流的习惯；在性质应用过程中培养独立思考的习惯.
重点：探索并掌握四边形内角和与外角和公式.
难点：四边形内角和与外角和公式的推导与证明.
【复习导入】
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些
由线段围成的图形吗？
【合作探究】
问题1：观察画四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？
思考：为什么要强调“在平面内”呢？
问题2：四边形各组成部分的名称有哪些？
想一想：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？
第 1 页探究点2：四边形的内角和与外角和
思考：我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个
四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
练一练
1. 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B， ∠C，∠D 的度数之比为 11 : 10 : 5 :
10 . 求四边形 ABCD 四个内角的度数.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.
四边形的外角和等于多少?
练一练
第 2 页2. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4 分别是四边形 ABCD 的四个外角，
若∠1＋∠2＝210°，则∠3＋∠4＝ .
探究点3：四边形的不稳定性
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角
形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
探究：如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然
后扭动它，它的形状会改变吗？
如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接
起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会没变吗？为什么？
想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用， 你能举出应用四
边形不稳定性的其他例子吗?
第 3 页当堂反馈
1.下列图形中，具有稳定性的是( )
2.[教材变式]求下列图中x的值.
x＝ . x＝ .
3.如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋∠3＝320°，则∠D的度数为 .
第3题图
4.如图，从三角形纸片ABC中剪去△CDE，得到四边形ABDE.如果∠1＋∠2＝230°，
那么∠C＝ .
第4题图
参考答案
练一练
第 4 页1. 解：设∠B = ∠D = ( 10x )°，
则 ∠A = (11x)°，∠C =(5x)°
由题意，得 11x + 10x + 5x + 10x = 360.
解得 x = 10 .
故∠A，∠B，∠C，∠D 的度数分别为 110°，100°，50°，100°.
例1
解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB＋∠1＝180°.
同理∠ABC＋∠2＝180°，∠BCD＋∠3＝180°，∠CDA＋∠4＝180.
∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°.
而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.
这样，我们就证明了：四边形的外角和等于360.
练一练
2. 150°
当堂反馈
1. C
2. 69 65
3. 140°
4. 50°
第 5 页
