文档内容
2017 年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工
类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120
分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式 .
其中S表示棱柱的底面面积， 其中 表示球的半径．
h表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
第1页 | 共6页（A） （B）1（C） （D）3
（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为24，则输出 的值为
（A）0 （B）1（C）2（D）3
（4）设 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条
件
（5）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
（6）已知奇函数 在R上是增函数， .若 ， ，
，则a，b，c的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
（7）设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，
且 的最小正周期大于 ，则
（A） ， （B） ， （C） ， （ D ）
第2页 | 共6页，
（8）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R上恒
成立，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知 ，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 .
（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球
的体积为 .
（11）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为
___________.
（12）若 ， ，则 的最小值为___________.
（ 13 ） 在 中 ， ， ， . 若 ，
，且 ，则 的值为___________.
（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数
的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）
在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， .
第3页 | 共6页（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求 的值.
16.（本小题满分13分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯
的概率分别为 .
（Ⅰ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
（17）（本小题满分13分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC， .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC
的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长.
18.（本小题满分13分）
已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于
0， , ， .
第4页 | 共6页（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
（19）（本小题满分14分）
设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线
的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直
线 与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.
（20）（本小题满分14分）
设 ，已知定义在R上的函数 在区间 内有一个
零点 ， 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，函数 ，求证： ；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且
满足 .
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