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21.2.1 平行四边形及其性质（第 2 课时）
知识点1：平行四边形的性质
1．如图，EF过▱ ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若▱ ABCD的周长是36，OE=3，则
四边形ABFE的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握利用平行四边形对角线互相平分
及对边平行的性质证明三角形全等，进而转化线段求周长是解题的关键．
先证△AOE≌△COF；再由平行四边形周长得AB+BC=18；最后转化四边形ABFE的周长表达式，代入数
值计算．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中：
∠AOE=∠COF
{ )
AO=CO
∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF=3，AE=CF，
∴EF=6．
∵ ABCD的周长是36，
▱
∴AB+BC=18，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF=18+6=24．
故答案为：24．
2．如图，在▱ ABCD中，∠B=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的平分线．有下列结论：①BE=CF；②AE
是∠DAB的平分线；③∠DAE+∠DCF=120°．其中正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边
平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．
可证明四边形AEFD为平行四边形，可求得BC=EF，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明△ABE、
△CDF为等边三角形，可判断②③，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
又∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF=AD，AE=DF，
∴BC=EF，
∴BE=CF，故结论①正确．
∵DC平分∠ADF，
∴∠ADC=∠FDC．
又∵AD∥EF，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴AE=CF=BE．
∵∠B=∠AEB，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠B=60°．
又∵AB∥DC，
∴∠DCF=∠B=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DAE=∠F=60°，∴AE是∠DAB的平分线，∠DAE+∠DCF=120°，故结论②③正确．
综上所述，其中正确的个数是3．
故选：D．
3．（2023年山东济南）已知：如图，点O为▱ ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于
点E，F．求证：DE=BF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF．
4．如图，在△ABC中，请用两种方法作出BC边的中线AD．（尺规作图，保留痕迹）
【详解】解：如图1，如图2，AD为所作．
知识点2：两点间的距离
5．如图，已知a∥b，下列线段的长中，是a，b之间的距离的是（ ）A．AB的长 B．AE的长 C．EF的长 D．BC的长
【答案】C
【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，
来判断哪个选项符合．
【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度．
线段EF垂直于直线a和b，因此EF的长度就是a，b之间的距离．
故选：C．
6．如图，l ∥l ，AB=4，S =4，则点C到AB的距离为（ ）
1 2 △DAB
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键．
首先利用平行线之间三角形面积相等，得到△ACB的面积，再根据面积公式求解点C到AB的距离即可．
【详解】解：∵l ∥l ，S =4，
1 2 △DAB
∴S =S =4，
△DAB △CAB
2×4
∴点C到AB的距离为 ，
4
故选：A．
7．如图，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=CD B．CE=FG C．GE=FC D．GE=DB
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题
的关键．结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的
推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项．
【详解】解：A、由题意可证得四边形ABDC是平行四边形，所以AB=CD，故A选项成立，不符合题意．
B、由两条平行线间的平行线段相等可知CE=FG，故B选项成立，不符合题意．
C、∵CE⊥b，FG⊥b，
∴CE∥FG；
∵FC∥EG，
∴四边形CFGE是平行四边形，
∴GE=FC，故C选项成立，不符合题意．
D、GE与DB的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意．
故选：D．
8．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB=10cm，AD=8cm，固定AB．逆时针转动
AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动
过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（ ）
A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
【答案】C
【分析】如图，作DM⊥AB于点M，则平行四边形ABCD的面积=AB×DM=10DM，可得DM≤8cm，即平行
四边形的高DM的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法.
【详解】解：如图，作DM⊥AB于点M，
则平行四边形ABCD的面积=AB×DM=10DM，
∵DM≤AD，AD=8，
∴DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，故乙的说法正确；
在逆时针转动AD过程中，DM先逐渐变大，到与AD相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边
形ABCD的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
所以甲乙的说法都是正确的，
故选：C.9．已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3 cm，直线b与c之间的距离是5cm，则直线a与c
之间的距离是 cm．
【答案】8或2
【分析】本题考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离是垂线段的长度，需分情况讨论位置关系是解
题的关键．
由于三条直线互相平行，直线a与c的距离取决于它们相对于直线b的位置，有两种情况：直线b在a与c之
间或a与c在b的同一侧．
【详解】解：当直线b在直线a与c之间时，直线a与c的距离为3+5=8(cm)；
当直线a与c在直线b的同一侧时，直线a与c的距离为|5−3|=2(cm)．
故答案为：8或2．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB∥CD,E是CD上一点，BE过AC的中点F，若CD=8,BC=4，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查全等三角形的AAS判定与平行线的性质，关键是连接AE，先证三角形全等得到面积等量
关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形ABED的面积转化为可直接计算的△ADC的
面积．
【详解】解：如图，连接AE，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF．又∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠FEC，
∴△AFB≅△CFE(AAS)，
∴S =S ，
△AFB △CFE
∴S =S ，
△ABE △AEC
∴S =S +S =S +S =S ，
四边形ABED △ADE △ABE △ADE △AEC △ADC
1 1
∵△ADC的面积为 ×CD×BC= ×8×4=16，
2 2
即阴影部分的面积为16．
故答案为：16．
11．如下图，DE⊥AB于点E，经测量AD=BC=1.8cm，DE=1.5cm，则AB与CD两平行线之间的距离是
1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？
【详解】解：AB与CD之间的距离是1.5cm，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，
而题中DE⊥AB且D在CD上，∴DE的长度1.5cm就是这两条平行线间的距离．
点C到直线AB的距离同样是 1.5cm，由于CD∥AB，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直
距离相等，∵D到AB的垂直距离为1.5cm，那么C到AB的垂直距离也必然是1.5cm．
12．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重
合），点C在射线ON上且OC=4，过点C作直线l ∥ PQ，点D在点C的左边且CD=6．
(1)求出△BCD的面积．
(2)如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于点E，交AC于点F，求证：∠CEF=∠CFE．
【详解】（1）解：过点B作直线l的垂线，交直线l于点H，∵l∥PQ，MN⊥PQ，
∴MN⊥l，
∵BH⊥l，
∴BH=OC=4，
1 1
∴S = CD·BH= ×6×4=12；
△BDC 2 2
（2）证明：∵AC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠CFE+∠CBF=90°，
∵MN⊥PQ，
∴∠BOE=90°，
∴∠ABF+∠OEB=90°，
∵∠OEB=∠CEF，
∴∠CEF+∠ABF=90°，
∴∠CEF+∠ABF=∠CFE+∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CEF=∠CFE．
13．（2024年浙江）如图，在
▱
ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=2❑√3．过点A作AE⊥BC的垂
线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．x−y C．xy D．x2+y2【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作DF⊥BC
交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△DCF(AAS)，得到AE=DF,BE=CF=x，由勾股定理可得，
AE2=4− (y−x) 2，DF2=12− (y+x) 2，则4− (y−x) 2=12− (y+x) 2，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵AE⊥BC的垂线交BC于点E，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC,AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)
∴AE=DF,BE=CF=x，
由勾股定理可得，AE2=AC2 −CE2=AC2 −(BC−BE) 2=4− (y−x) 2，
DF2=BD2 −BF2=BD2 −(BC+CF) 2=BD2 −(BC+BE) 2=12− (y+x) 2，
∴4− (y−x) 2=12− (y+x) 2，
∴(y+x) 2 −(y−x) 2=8
∴x2+2xy+y2 −y2+2xy−x2=8
即4xy=8，解得xy=2，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy，
故选：C
14．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知▱ ABCD，G为CD边上一点，
E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作▱ CEFG，请用一条直线平分▱ ABCD与▱ CEFG组合的图形面积．
他们延长EF，AD交于点H，分别作出▱ ABCD，▱ CEFG，▱ DGFH，▱ ABEH对角线的交点P，Q，M，
N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（ ）A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错
【答案】B
【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行
判断即可．
【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形，
∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积，
甲方案：直线PQ既平分 ABCD的面积，也平分 CEFG的面积，符合题意；正确；
▱ ▱
乙方案：直线PM平分 ABCD的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；
▱
错误；
丙方案：直线NM既平分 ABEH的面积，也平分 DGFH，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符
▱ ▱
合题意；正确．
故选B．
15．如图，已知 △ABC中，点D 是BC上且离点C较近的一个点，连接AD， 点E 是BC的中点， 连接AE，
过点E 作EF∥AD交AB于点 F， 连接 DF， 若 △ABE面积等于4，则 △ABC的面积为 ，四
边形 AFDC的面积为 ．
【答案】8 ，4.
【分析】本题考查三角形中线的性质以及平行线之间三角形面积的等量关系，掌握相关知识点是解题的关
键．
由点E 是BC的中点，判断出S =S ，即可得出△ABC的面积，由EF∥AD，可得S =S ，故通
△ABE △AEC △ADF △ADE
过等量关系可证出S =S ．
四边形AFDC △AEC【详解】解：∵点E为BC中点，
∴S =S =4，
△ABE △AEC
∴S =S +S =8，
△ABC △ABE △AEC
∵EF∥AD，
∴S =S ，
△ADF △ADE
∴S =S +S =S +S =S =4，
四边形AFDC △ADF △ADC △ADE △ADC △AEC
故答案为：8；4．
16．已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)如图（1），对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证OE=OF．
(2)如图（2），过点A作对角线BD的垂线，垂足为M，交边BC于点N．仅用无刻度的直尺在图中作CH⊥BD，
垂足为H．（保留作图痕迹，不要求写作法．）
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF
（2）解：连接AC交BD于点O，作射线NO交AD于点G，连接CG交BD于点H，点H即为所求作．
