文档内容
第 21 章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
【素养目标】
1.掌握三角形的中位线的概念和定理，能正确应用三角形的中位线定理.
2.经历探索三角形中位线定理的证明过程，灵活运用三角形的中位线定理解决有关问题.
3.结合实际情况，进一步理解三角形中位线的概念和性质，培养学生的创造性思维.
重点：三角形中位线定理的理解及应用.
难点：三角形中位线定理的探索和证明.
【情境导入】
思考：如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形
状大小相同，该怎样分呢？
想一想：如图，如何做辅助线，将△ABC 分成 4 块面积相等的部分？
【合作探究】
探究点1: 三角形的中位线定理
如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE. 像 DE 这样，
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
问题1：一个三角形有几条中位线？
你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
问题2：三角形的中位线与中线一样吗？
问题3：如图，DE 是△ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？
问题4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
第 1 页猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
问题5：如何证明你的猜想？
证一证：如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点.
1
求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
2
知识要点：
三角形中位线定理：
几何语言描述：
问题6：根据三角形的三条中位线能得到什么结论？
思考：如图，如何做辅助线，将 △ABC 分成 4 块面积相等的部分？
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E 为 AB 的中点，在 AB 的延长线上取一点
D，使 BD＝AB，求证：CD＝2CE.
练一练
1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．
探究点2: 三角形的中位线与平行四边形的综合运用
第 2 页例2 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
D
H
A
G
E
B C
F
练一练
2.如图， ▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，
BD = 12，求△DOE 的周长.
A
D
E
O
B C
当堂反馈
1.如图，DE是△ABC的中位线.若BC＝8，则DE的长为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
2.在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则
∠AED的大小为( )
A.22° B.68° C.96° D.112°
3.如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点.若OE＝3，则
CD的长为 .
第3题 第4题
4.如图，在△ABC中，点 D，E分别是边 AB，BC的中点.若△DBE的周长是 6，则
△ABC的周长是 .
5.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若四边形BEFD的周长为14，AC＝4，求△ABC的周长.
参考答案
第 3 页探究点1: 三角形的中位线定理
证一证：
证法1：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形.∴CF綉DA.
又D是AB的中点，∴CF綉BD.
∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF綉BC.
1 1
又DE＝ DF，∴DE∥BC，且DE＝ BC.
2 2
证法2：如图②，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC.
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE（SAS）.
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.∴AD∥CF.又AD＝BD，∴BD綉CF.
∴四边形BCFD是平行四边形，DF綉BC.
1 1
又DE＝ DF，∴DE∥BC，且DE＝ BC.
2 2
典例精析
例1 证明：取 AC 的中点 F，连接 BF.
∵ BD＝AB，
∴ BF 为△ADC 的中位线，
∴DC＝2BF.
∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC，
∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB.
∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE.
练一练1. (1)10 (2)65 (3)8
探究点2: 三角形的中位线与平行四边形的综合运用
例2 证明：如图，连接AC.
1
∵AH＝HD，CG＝GD，∴HG∥AC，且HG＝ AC.
2
1
同理EF∥AC，且EF＝ AC.∴HG綉EF.
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
练一练2.
解：∵ ▱ABCD 的周长为36，∴ BC + CD = 18．
∵ 点 E 是 CD 的中点，
1
∴ OE 是△BCD 的中位线，DE = CD.
2
1
∴ OE = BC.
2
第 4 页1
∴△DOE 的周长为 OD+OE+DE = (BD+BC+CD) = 15，
2
即△DOE 的周长为 15．
当堂反馈
1. B 2. B 3. 6 4. 12
5.
(1)证明：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD为平行四边形.
(2)解：∵四边形BEFD为平行四边形，且周长为14，
∴BE＋BD＝7.
1 1
又∵BE＝ BC，BD＝ AB，
2 2
∴AB＋BC＝14.
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝14＋4＝18.
第 5 页
