文档内容
21.3.1 矩形（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了矩形的概念和性质的基础上，通过研究性质定理的逆命题探索判定的条件，并从定
义出发证明结论，得到矩形的判定定理。
2. 内容分析
矩形的判定是在矩形性质学习基础上的逆向探究，是平行四边形判定体系向特殊平行四边形的延伸，
延续了“性质逆命题→猜想→证明→判定定理”的几何研究思路。本节课从矩形的角和对角线性质出发，
推导得出“有三个角是直角的四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”两个判定定理，与矩形
定义共同构成完整的矩形判定体系，既建立了性质与判定的互逆联系，又体现了“一般到特殊”的图形研
究方法。矩形的判定定理是解决矩形识别、几何证明和实际作图问题的核心依据，也是后续学习菱形、正
方形判定的基础，其探究过程能进一步培养学生的逻辑推理能力、类比思想和知识迁移能力，同时让学生
体会数学在实际生活中的应用价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：矩形判定的探索、证明和应用。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会图形判定探究的一般思路，发展推
理能力。
（2）掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算，发展应用意识。
2. 目标解析
（1）学生能类比平行四边形判定的探究思路，从矩形性质的逆命题出发提出判定猜想，能独立完成
两个判定定理的证明过程，理解证明的逻辑依据；能体会类比思想和“性质与判定互逆”的研究方法，进
一步发展逻辑推理和几何证明能力。
（2）学生能熟练掌握矩形的定义及两个判定定理，清晰区分各判定定理的适用条件，能根据题目给
出的不同条件选取恰当的判定定理进行推理和计算；能运用矩形判定定理解决几何证明、图形识别和简单
的实际问题，发展知识应用意识和解题能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.证明“对角线相等的平行四边形是矩形”时，对全等三角形的判定和角的等量代换思路不连贯，无
法快速由对角线相等推导出直角，或推理步骤不规范。2.综合运用矩形的性质和判定解题时，不能实现二者的灵活转换，如用性质推导的条件无法准确衔接
判定定理的要求，逻辑推理出现断层。
应对策略：
1.板书“对角线相等的平行四边形是矩形”的两种证明方法，标注每一步的推理依据，通过提问引导
学生梳理逻辑链，让学生明确证明思路。
2.设计性质与判定结合的综合例题，示范“用性质推导出判定定理所需条件→用判定定理证明矩形→
再用矩形性质解决问题”的流程，用不同符号标注条件和结论，帮助学生理清推理逻辑。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索并证明矩形的判定定理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 满足什么条件的四边形是矩形？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.（定义既是性质，又是判定.）
问题2 还有其他判定矩形的方法吗？你能说说矩形的性质定理的逆命题吗？
四个角都是直角的四边形是矩形.→有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等且互相平分的四边形是矩形.→对角线相等的平行四边形是矩形.
设计意图：通过提问回顾矩形的定义判定，明确定义的“双重性”，为后续判定定理的学习做好铺垫；
引导学生写出矩形性质的逆命题并简化猜想，自然引出本节课的探究主题，让学生体会“性质逆命题→判
定猜想”的几何研究思路，渗透类比思想，同时激发学生的探究兴趣，建立性质与判定的互逆联系。
（二）合作探究
猜想1 有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠D=360°−(∠A+∠B+∠C)=90°， A D
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
B C
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形.
符号语言∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
猜想2 对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：在 ▱ABCD中，AC=BD，
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°. A D
∵AB=DC，BC=CB，AC=BD， O
∴△ABC≌△DCB，
B C
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
追问 你还有其他证明方法吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴OA=OC= AC，OB= BD，
2 2
∵AC=BD，∴OA=OB=OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
符号语言
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
应用 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是
否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？设计意图：从性质逆命题出发提出猜想，让学生经历“猜想—证明—应用”的完整探究过程，培养科
学的几何研究方法；两个判定定理的证明层层递进，从角的判定到对角线的判定，覆盖矩形的核心特征，
证明过程中巩固了平行四边形的判定、三角形全等等旧知，发展学生的逻辑推理能力；通过两种方法证明
判定定理 2，培养学生的发散思维；结合工人师傅制作矩形零件的实际问题，让学生感受矩形判定定理在
生活中的应用，体会数学的实用价值。
（三）典例分析
例2 如图， ▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直
角，从而证明四边形EFGH是矩形.
A D
H
E G
F
B C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF=1∠BAD+1∠ADC =1(∠BAD+∠ADC)=90°.
2 2 2
∴∠F=90°.
同理∠H=∠AEB=90°.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
设计意图：例题的分析过程注重引导学生从已知条件出发寻找解题突破口，培养学生的条件分析和逻
辑推理能力；该例题实现了矩形判定定理与前期知识的综合应用，让学生体会判定定理的实际应用场景，
为后续巩固练习做好示范。（四）巩固练习
1．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，
以下测量方案正确的是（ C ）
A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直
C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等
2.如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2.求 ▱ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=1AC，OB=1BD.
2 2
∵△OAB是等边三角形，
A D
∴OA=OB=AB=2，
O
∴AC=BD=4，
∴四边形ABCD是矩形. B C
由勾股定理得：BC=❑√AC2 −AB2=2❑√3，
∴▱ ABCD的面积=AB×BC=4❑√3.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线
于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形.
A F
证明：∵AB=AC，D是线段BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，即∠ADC=90°. E
∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，∴AE=DE. B D C
又∵∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB，∴AF=BD=CD，
又∵AF//CD，∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形.
设计意图：分层设计练习题，强化矩形的判定定理及应用；整个练习环节既夯实了判定定理的基础应
用，又提升了学生的综合解题能力，兼顾不同层次学生的学习需求。
（五）归纳总结（六）感受中考
1．（2025年山东东营）如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加
下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ A ）
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC
2．（2025年四川德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ D ）
A．AB∥CD B．AB=BC C．∠B=∠D D．AC=BD
3．（2024年西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，
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过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是 .
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4．（2025年江苏镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹
根A处3尺远．请你解答：折断处B离地面多高？
解：如图，过点B作BC⊥OP于点C，
由题意得：BA⊥OA,OA⊥OP，AB+BP=10尺，OP=9尺，OA=3尺，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=3尺，OC=AB，
设OC=AB=x尺，则CP=OP−OC=(9− x)尺，BP=(10− x)尺，
在Rt△BCP中，由勾股定理得：BC2+CP2=BP2，即32+(9− x) 2=(10− x) 2，
解得x=5，
即AB=5尺，
答：折断处B离地面5尺．
5．（2025年青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的
延长线于点E，连接AD，BE．
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
(2)若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
（1）证明：∵点O为AB的中点，
∴OA=OB，
∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠OBD，∠AEO=∠BDO，
∴△AEO≌△BDO(AAS)，
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形，
理由如下：
∵ AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴ AD⊥BC即∠ADB=90°，∵ 由（1）得四边形AEBD是平行四边形，
∴ 四边形AEBD是矩形.
设计意图：结合近年中考真题设计练习，让学生感受矩形判定定理在中考中的考查形式、题型和难度，
提升备考意识；中考题覆盖了矩形判定的条件补充、实际应用、与等腰三角形、直角三角形的综合证明、
最值问题等多种场景，全面拓展学生的解题视野；部分真题的实际情境设计，让学生进一步感受数学与生
活的联系，提升知识应用意识。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.3 第1，13题.
2.探究性作业：习题21.3 第18题.
五、教学反思
