文档内容
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的定义与性质
1.掌握矩形的概念和性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半”这个性质，应用矩形的性质进行有关证明与计算.
2.探索并能证明矩形的性质定理，理解平行四边形与矩形的区别与
联系.
3.通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程，进一
步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.
重点：掌握矩形的性质定理.
难点：利用矩形的性质进行证明和计算.
知识链接：上节课我们学习了三角形的中位线，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：矩形的定义
问题1：根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，
当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？
概念引入：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长
方形.
注意：矩形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是矩形.
问题2：矩形也是常见的几何图形，能否举出生活中矩形形象的例
子？
门窗框，黑板等.
探究点二：矩形的性质问题3：（教材P68思考）因为矩形是平行四边形，所以它具有平行
四边形的所有性质，但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平
行四边形不具有的一些特殊性质呢？
类比平行四边形，从边、角、对角线的角度研究矩形的特殊性质.
如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线.
（1）矩形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊
之处？
有一个角是直角.
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补，那么矩形的四个角会有怎
样的关系呢？
矩形的四个角都相等，都是直角.
（3）测量我们刚刚折纸时的两条对角线长度，这两个长度有什么关
系？
两条对角线长度相等.
下面我们一起来验证一下：
1.如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°.求证：∠A＝∠B＝∠C＝
∠D＝90°.
证明：∵矩形ABCD是特殊的平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠C.
∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∠D＝180°－90°＝90°.
同理∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
2.如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC＝BD.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC.
又BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）.∴AC＝BD.
归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.另外，容易
发现，矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它
的对称轴.
（教材P69例1）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形.∴OA＝AB＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
【对应训练】教材P70练习第1题和第2题.
探究点三：直角三角形斜边上的中线的性质
问题4：（教材P69思考）如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
BO与AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？
1
可以发现BO＝ AC，下面对它进行证明.
2
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC上的中线.求证：
1
BO＝ AC.
2
证明：延长BO至D，使OD＝BO，连接AD，CD.∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形.
1 1
∴AC＝BD.∴BO＝ BD＝ AC.
2 2
归纳总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【对应训练】教材P80习题21.3第9题.
1.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ A ）
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论
一定正确的是（ B ）
A.∠CAD＝∠CAB
B.OA＝OD
C.OA＝AB
D.AC所在直线为矩形ABCD的对称轴
3.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝
2，则矩形ABCD的面积等于 4√3 .
第3题图 第5题图
4.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若AB＝6，则CD＝ 3 .
5.[高频易错]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作AE⊥BD，垂足为E.若∠OCD＝56°，则∠EAB＝
34 °.6.[教材变式]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若点E是
AO的中点，点F是OD的中点.求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD.
2 2
∴OA＝OC＝OB＝OD.
又∵点E是AO的中点，点F是OD的中点，∴OE＝OF.
∵∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（SAS）.∴BE＝CF.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
