文档内容
第 21 章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的定义与性质
【素养目标】
1.掌握矩形的概念和性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，应
用矩形的性质进行有关证明与计算.
2.探索并能证明矩形的性质定理，理解平行四边形与矩形的区别与联系.
3.通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程，进一步培养学生的逻辑思
维能力和推理论证的表达能力.
重点：掌握矩形的性质定理.
难点：利用矩形的性质进行证明和计算.
【情境导入】
根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是
直角时，会产生什么特殊的平行四边形？
【合作探究】
探究点1: 矩形的性质
同学们，能给这个图形下个定义吗？
矩形的定义：
矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形形象的例子？
归纳总结：
韦恩图：
第 1 页思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角
为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
提示：能否类比平行四边形，从边，角，对角线的角度研究矩形的特殊性质.
活动：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的
长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
证一证
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O.
求证：AC = DB.
知识要点
矩形的性质：
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分.
角：
对角线：
几何语言描述：
第 2 页思考：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称
图形? 如果是，那么对称轴有几条?
矩形的性质：
对称性： 图形，对称轴： 条.
典例精析
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形
ABCD的对角线的长.
练一练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，DF⊥AE，垂足为 F.
求证：DF = DC.
探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质
活动 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.
证一证 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
第 3 页要点归纳：直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________.
典例精析
例2 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边
上的中线的性质进行求解．
例3 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，
试说明GF⊥DE.
方法总结:在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三
角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
练一练
2. 如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2) 若 ∠ C = 30° ,AB = 5cm, 则 AC =_____cm, BD
=_____cm.
当堂反馈
第 4 页1.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( )
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A.∠CAD＝∠CAB
B.OA＝OD
C.OA＝AB
D.AC所在直线为矩形ABCD的对称轴
3.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面
积等于 .
第3题图
4.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若AB＝6，则CD＝ .
5.[高频易错]如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作
AE⊥BD，垂足为E.若∠OCD＝56°，则∠EAB＝ °.
第5题图
6.[教材变式]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若点E是AO的中点，点F是
OD的中点.求证：BE＝CF.
参考答案
【合作探究】
第 5 页探究点1: 矩形的性质
证一证
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O.
求证：AC = DB.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°，
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
典例精析
例1
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形.∴OA＝AB＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
练一练1. 证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠CED.
∴∠CED =∠AED.
又∵ DF⊥AE，
∴ DF = DC.
探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质
证一证
证明：延长BO至D，使OD＝BO，连接AD，CD.
∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
1 1
∴AC＝BD.∴BO＝ BD＝ AC.
2 2
例2
第 6 页解：(1) ∵ AD 是△ABC 的高，
E、F 分别是 AB、AC 的中点，
1 1 1 1
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
2 2 2 2
∴四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
(2) 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，
∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
∴ EF 垂直平分 AD.
例3
解：连接 EG，DG.
由题意知 ∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点 G 是 BC 的中点，
1 1
∴ EG＝ BC，DG＝ BC.
2 2
∴ EG＝DG.
又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
练一练2. 答：(1) 6 (2) 10 5
当堂反馈
1. A 2. B
3. 4√3 .
4. 3 .
5 34
6.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD.
2 2
∴OA＝OC＝OB＝OD.
又∵点E是AO的中点，点F是OD的中点，
∴OE＝OF.
∵∠BOE＝∠COF，
∴△OBE≌△OCF(SAS).
∴BE＝CF.
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