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分课时教学设计
第三课时《22.1.3二次函数y=a(x-h) 2+k的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 概括地讲，二次函数的图象在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思
想的基础性。一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函
数的性质打下基础;另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学
生对二次函数的图象由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解
决问题的能力。
学习者分析 学生在八年级已经学会了用描点法作函数图象，在前一节已经学会了探究二次函数
性质的方法。学生已经积累了一定的作图经验和探究二次函数性质的经验。学生已
经具备了一定的观察能力，类比能力，总结归纳的能力。
教学目标 1.利用描点法画出二次函数y=a(x-h) 2+k的图象.
2.理解抛物线y=a(x-h) 2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
3.掌握抛物线y=a(x-h) 2+k与抛物线y=ax2的平移规律.
教学重点 1.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
2.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象之间的位置关系
教学难点 学生通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
【提问】尝试说出二次函数y＝ax2图象特 教师提出问题，学生回答．教师将二次函数y＝ax2的图
征和性质？ 象和性质进行板书
活动意图说明：通过复习回顾二次函数y＝ax2的图象特征和性质，为本节课学习二次函数y＝ax2＋k的
图象特征和性质进行铺垫．
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
用描点法画二次函数 y=2x2+1 和 y=2x2-1 的 学生动手实践画出二次函数y=2x2+1 和 y=2x2-1
图象。
的图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体
展示画图过程。抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、 小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、
对称轴、顶点、最值各是什么？ 最值、增减性等方面描述图象特征和性质．
抛物线y=2x2+1的开口方向
对称轴________,
顶点坐标是________，函数的最__值
为_________
抛物线y=2x2-1的开口方向____、对称轴
____,顶点坐标是_____ ，函数的最___
值为__
学生认真观察二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的
思考:抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2
有什么关系？
图象后给出答案.教师通过多媒体展示抛物线
y=2x2的平移过程,，并总结
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
活动意图说明：经历从特殊到一般的研究过程，得出二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象关系，
以及二次函数y＝ax2＋k（k>0）与y=ax2+k（k<0）的图象关系．
环节三：新知探究
教师活动3： 学生活动3：
在同一直角坐标系中，画出二次函数 1
学生动手实践画出二次函数y= (x+1)2 和
1 1
y=- (x+1) 2 ，y=- (x-1) 2 2
2 2
1
y= (x-1)2 的图象，在学生完成图象后，教师
的图象，并分别指出它们的开口方向、对 2
称轴和顶点．
通过多媒体展示画图过程。
1 1
抛物线 y= (x+1)2 和 y= (x-1)2的
2 2
开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、
最值、增减性等方面描述图象特征和性质．抛 物 线 学生认真观察二次函数y=- 1 (x+1) 2和y=- 1 (x-1) 2
1 1 2 2
y=- (x+1)2和y=- (x-1)2与
2 2
的图象后给出答案.教师通过多媒体展示抛物线
1 2
y=- x 有什么关系？ 1 2
2 y=- x 的平移过程,，并总结
2
抛物线 y=a(x-h)2与y=ax2有什么关
系？
当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h
个单位长度，就得到抛物线y=a(x-h)2（h＞
0）；
当h＜0时，把抛物线y＝ax2向左平移|h|
个单位长度，就得到抛物线 y=a(x+|h|)（
h<0）．
活动意图说明：经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=a(x-h)2 (a<0)的图象特征
和性质以及二次函数y=a(x-h)2与y＝ax2的图象关系
环节四：典例精析
教师活动4： 学生活动4：
1 1
例3 画出抛物线y=- (x+1) 2-1的图象，并 学生动手实践画出二次函数y= - (x+1)2-1
2 2
指出它的开口方向、对称轴和顶点. 怎样移动
的图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体
1
抛 物 线 y=- x2 就 可 以 得 到 抛 物 线
2 展示画图过程。学生解答。
1
y=- (x+1) 2-1 ？
21
解 ： 抛 物 线 y=- (x+1) 2-1的 开 口
2
______、对称轴_________、顶点是_______.
1
把抛物线y=- x2 向下平移 1个单位长
2
度，再向左平移1个单位长度，就得到抛 学生相互补充，师生共同梳理归纳
1
物线y=- (x+1) 2-1.
2
你能说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象特
征和性质吗？
一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形
状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上
(下)向左(右)平移，可以得到抛物线
y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据
h、k的值来决定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜
0时，开口向下.
（2）对称轴是x=h．
（3）顶点是(h，k)．
从二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而
减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；
1
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而 学生认真观察二次函数y=- (x+1) 2-1与
2
增大，当x＞h时，y随x的增大而减小.
1 1 2 1 2
抛物线y= (x+1) 2-1与 y=- x 有什 y=- x 的图象后给出答案.
2 2 2
么关系？
学生独立思考，小组讨论，师生共同梳理归纳：
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关
系？
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k由y=ax2向上
（或下）向左(或右)平移得到，抛物线
y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同、位置不同。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
活动意图说明：经历从特殊到一般的研究过程，得出二次函数y=a(x-h)2+k的性质以及与y＝ax2的图象
关系．
环节五：新知讲解
教师活动5： 学生活动5：
例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖 先由学生回答，最后给出答案
直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落
头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平
距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处 地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立
离池中心3m,水管应多长?
直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴0=a(3－1)2＋3.
3
解得：a=-
4
因此抛物线的解析式为:
3
y=- (x-1)2＋3 (0≤x≤3)
4
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
活动意图说明：通过例题巩固，提高学生知识应用能力.
板书设计 一、二次函数y=a(x-h) 2+k的图象
二、二次函数y=a(x-h) 2+k的性质
图象、开口方向、对称性、
顶点、最值、增减性、开口大小
三、二次函数y=a(x-h) 2+k的平移
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1.已知二次函数y＝-(x+h)2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞-3时，y
随x的增大而减小，当x=0时，y的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣9 C．1 D．9
2.若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围
是（ ）A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
3.如果二次函数y＝a（x－1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
那么a的取值范围是__________.
4.将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新
抛物线的表达式是 ．
选做题：
5.当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
6.抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【综合拓展类作业】
7.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷出的抛物线
型水柱最大高度为3m，此时距喷水管的水平距离为 m，求在如图所示的平面直
角坐标系中抛物线型水柱对应的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1.若抛物线y=a(x-h)2的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x2的形状相同，开口
方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和-1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
2.已知二次函数y＝a(x﹣m)2（a<0）的图象经过点A(﹣1，p)，B(3，q)，且p<q，
则m的值可能是（ ）
5
A．﹣1 B．﹣√2 C．0 D．
3
选做题：
3．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【综合拓展类作业】
4.如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点
为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
教学反思 本节课采用的是翻转课堂教学模式，课前要求学生根据老师布置的任务单让学
生熟练掌握二次函数 ， y＝a(x－h)2＋k 的图象和性
，
质。
课程的难易梯度设计合理，简单问题以学生自主完成为主，个别学生老师或组
长进行指导帮助，难度较大的问题以小组合作解决为主，体现以学生为主体的教学
形式。课堂上老师针对学生的回答中的漏点及时一步一步引导，帮助学生构建准确
严谨的数学思维。比如求 的解析式，很多学生都说只随便取一个点，老师反问
“这个点真的能随便取吗？”，立马就会有学生反应过来“不能取顶点。”老师继
续反问“那是不是除了顶点之外的其他点都能取。”这时候有一位同学真是太厉害
了，居然想到了“我觉得过（0，1）且平行于x轴直线上的点及y轴上的点都不能
取”，最后有同学上黑板通过画图象说明了这个原因。部分小组能针对问题2的交
流能从代数及几何角度来比较 的大小，体现了学生学会运用数形结合思想来解决
问题，达到了预期的目标。
