22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质(讲+练)10种题型-2023考点题型精讲（原卷版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 a0 （1） a0 （2） y  ax2a  0 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到 注意： y  ax2 ca  0 的图象. 题型1：二次函数y=ax²+k的图象 1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象． 【变式1-1】画出函数y＝x2及y＝x2﹣1的图象．课堂总结： 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 y ax2 c(a 0) 关于二次函数 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减 性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 y ax2 c(a 0,c0) y ax2 c(a0,c0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 x0 x0 当 时，y随x的增大而增大； 当 时，y随x的增大而减小； 函数变化 x0 x0 当 时，y随x的增大而减小. 当 时，y随x的增大而增大. 最大（小） y c y c 值 当 x0 时， 最小值 当 x0 时， 最大值 题型2：二次函数y=ax²+k的性质 2.抛物线 的开口方向是（ ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 【变式2-1】二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限 【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（ ） A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．直线x＝2 D．y轴 函数y=a（x-h）²的图象与性质a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，0 x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，0 x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0． 题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象 3.画出二次函数y＝（x﹣1）2的图象． 【变式3-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y＝（x﹣2）2 （2）y＝（x+2）2 课堂总结： 题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质 4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标为（1，0） D．当x＜1时，y随x的增大而减小 【变式4-1】下列关于抛物线y＝（x+1）2的说法中，正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝1 C．与y轴的交点坐标为（0，﹣1）D．顶点坐标为（﹣1，0） 【变式4-2】对于二次函数y＝﹣2（x+5）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣5 C．顶点坐标为（﹣5，0） D．x＜﹣5时，y随x的增大而减小 函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，k x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值k． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，k x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k． 题型5：二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 5.对于二次函数y＝﹣5（x+4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣1） B．对称轴是直线x＝4 C．顶点坐标为（﹣4，1） D．当x＜﹣4时，y随x的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y＝（x﹣2）2+3 （2）y＝（x+2）2﹣3 【变式5-2】画函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x为何值时，y随x的增大而减小． （2）当x为何值时，y＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝5（x+2）2﹣3； （2）y＝﹣ （x﹣2）2+3； （3）y＝ （x+3）2+6． 二次函数的平移 1.平移步骤： yaxh2k h，k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； yax2 h，k ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上 加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移） 6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函 数表达式为（ ） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y＝2（x﹣2）2+3 的是（ ） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣3）2+1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式 是 ． 题型7：利用增减性求字母取值范围 7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（ ） A．k＜7 B．k＞7 C．k＜0 D．k＞0 【变式7-1】已知点（x ，y ）、（x ，y ）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x ＜x 时，有 1 1 2 2 1 2 y ＞y ，则m的取值范围是（ ） 1 2 A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3 【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P （﹣3，y ）、P （﹣1，y ）、P 1 1 2 2 3 （1，y ）三点．若y ＜y ＜y ，则h的取值范围是 ． 3 2 1 3 题型8：识别图象位置 8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以 是（ ）A． B． C． D． 题型9：比较函数值的大小 9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y ），B（2，y ），C（3，y ），则y ，y ， 1 2 3 1 2 y 的大小关系为（ ） 3 A．y ＝y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＝y D．y ＜y ＝y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 【变式9-1】已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y ）、D（n，y ）均 1 2 在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则y 与y 的大小关系是（ ） 1 2 A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定 1 2 1 2 1 2 【变式9-2】抛物线y＝（x+2）2上有三点A（﹣4，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ），则对称轴为 1 2 3 ；y ，y ，y 的大小关系为 ． 1 2 3 题型10：简单综合问题 10.已知抛物线y＝ （x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于 另外一点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）试判断△ABC的形状并说明理由． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交 抛物线y＝ x2于点B、C，求BC的长度． 【变式10-2】抛物线y＝ x2和直线y＝kx+b（k≠0）的交点是A和B，它们的横坐标分别是﹣1和3 （1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积．【变式10-3】在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线y＝ x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2， 3）． （1）求B点的坐标； （2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积． 一、单选题 1．抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标是（ ） A．（2，1） B．（-2，1） C．（-2，-1） D．（1，2） 2．若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，则必须( ) A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位名 B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 3．对于二次函数 y=−(x−1) 2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是直线 x=1 ，最小值是 2 B．对称轴是直线 x=1 ，最大值是 2 C．对称轴是直线 x=−1 ，最小值是 2 D．对称轴是直线 x=−1 ，最大值是 2 4．二次函数y=2(x－1) －1的顶点是( )． A．(1，－1) B．(1，1) C．(－1，1) D．(2，－l)5．对于抛物线 y=(x−2) 2−3 ，下列结论错误的是（ ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线 x=2 C．抛物线不经过第三象限 D．当 x>3 时， y 随 x 的增大而减小 6．如果将一个二次函数图象沿着坐标轴向左平移3个单位，向下平移4个单位后得到的是y = 2（x - 6）2 + 4，则原函数解析式是（ ） A．y =（x - 9）2 + 8 B．y = 2（x - 6）2 C．y = 2（x - 3）2 + 8 D．y = 2（x - 9）2 + 8 二、填空题 7．抛物线 y=2(x−1) 2+3 的顶点坐标是 ． 8．已知点A(x ，y)、B(x ，y)在二次函数y=(x-1)2+1的图像上，若x>x >1，则y y．(填 1 1 2 2 1 2 1 2 “>”“=”或“<”) 9．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标那么它的顶点坐标为 10．已知A（﹣2，y）、B（﹣3，y）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y y．（填 1 2 1 2 “＞”、“＝”或“＜”） 11．已知二次函数 y=x2−4x+2 ，在-1≤x≤1的取值范围内，有最小值是 。 三、作图题 1 12．画出抛物线y＝﹣ （x﹣1）2+5的图象（要求列表，描点），回答下列问题： 2 （1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围； （3）若抛物线与x轴的左交点（x，0）满足n≤x ≤n+1，（n为整数），试写出n的值． 1 1四、解答题 13．当-2≤x≤1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值． 14．已知抛物线 y=a(x−3) 2+2 经过点 (1,−2) ，若点 A(m,s) ， B(n,t) （ m