文档内容
22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质
二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
a0
（1）
a0
（2）
y ax2a 0
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到
注意：
y ax2 ca 0
的图象.
题型1：二次函数y=ax²+k的图象
1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．
【分析】列表，描点、连线画出函数图象即可．
【解答】解：列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …
描点、连线画出函数图象：【点评】本题考查了二次函数的图象，正确作图是解题的关键．
【变式1-1】画出函数y＝x2及y＝x2﹣1的图象．
【分析】先求出二次函数y＝x2﹣1的顶点坐标，再求出其图象与x轴的两个交点，描出这三个点画出函
数图象，
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
．
【点评】本题考查的是二次函数的图象画法，熟知利用特殊点法画函数的图象是解答此题的关键．
课堂总结：
二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
y ax2 c(a 0)
关于二次函数 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减
性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数 y ax2 c(a 0,c0) y ax2 c(a0,c0)图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
x0 x0
当 时，y随x的增大而增大； 当 时，y随x的增大而减小；
函数变化
x0 x0
当 时，y随x的增大而减小. 当 时，y随x的增大而增大.
最大（小） y c y c
值 当 x0 时， 最小值 当 x0 时， 最大值
题型2：二次函数y=ax²+k的性质
2.抛物线 的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【分析】根a＝﹣ ＜0判断图象开口方向向下．
【解答】解：∵y＝﹣ x2中，a＝﹣ ＜0，
∴抛物线开口向下，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式2-1】二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（ ）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，
∴抛物线经过第三，四象限，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．直线x＝2 D．y轴
【分析】根据抛物线的顶点式即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+1，
∴抛物线的对称轴为y轴，故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在 y＝a（x﹣h）2+k
中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
函数y=a（x-h）²的图象与性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y
a0 向上 h，0 x=h
随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0．
xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y
a0 向下 h，0 x=h
随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0．
题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象
3.画出二次函数y＝（x﹣1）2的图象．
【分析】首先可得顶点坐标为（1，0），然后利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图
象．
【解答】解：列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 1 0 1 4 …
如图：
．
【点评】此题考查了二次函数的图象．注意确定此二次函数的顶点坐标是关键．
【变式3-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象
（1）y＝（x﹣2）2
（2）y＝（x+2）2
【分析】利用列表、描点、连线画函数图象．
【解答】解：（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 4 …
描点、连线，（2）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 4 …
描点、连线，
课堂总结：
题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质
4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2，
∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为（1，0），故选项C正确，不符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
【变式4-1】下列关于抛物线y＝（x+1）2的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．与y轴的交点坐标为（0，﹣1）
D．顶点坐标为（﹣1，0）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，将 x＝0代入函数解析式可得抛物
线与y轴交点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
将x＝0代入y＝（x+1）2得y＝1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式4-2】对于二次函数y＝﹣2（x+5）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣5
C．顶点坐标为（﹣5，0）
D．x＜﹣5时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣5，0），对
称轴为直线x＝﹣5，当x＜﹣5时，y随x的增大而增增大．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+5）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣
5，当x＜﹣5时，y随x的增大而增大，
故A、B、C说法正确，D说法不正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，
即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a
＜0时，抛物线开口向下．函数y=a（x-h）²+k的图象与性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y
a0 向上 h，k x=h
随x的增大而减小；xh时， y 有最小值k．
xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y
a0 向下 h，k x=h
随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k．
题型5：二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质
5.对于二次函数y＝﹣5（x+4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣1）
B．对称轴是直线x＝4
C．顶点坐标为（﹣4，1）
D．当x＜﹣4时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的图象和性质求解．
【解答】解：由解析式得：函数的顶点为：（﹣4，﹣1），故C是错误的；
对称轴为：直线x＝﹣4，故B是错误的；
当x＝0时，y＝﹣81，故A是错误的；
﹣5＜0，抛物线开口向上，当x＜﹣4时，y随x的增大而增大；故D是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合思想是解题的关键．
【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象
（1）y＝（x﹣2）2+3
（2）y＝（x+2）2﹣3
【分析】利用列表、描点、连线画函数图象．
【解答】解：（1）列表：
列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 7 4 3 4 7 …
描点、连线，（2）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 …
描点、连线，
【点评】本题考查了二次函数图象的作法，二次函数的性质，作二次函数图象通常利用“五点法”．
【变式5-2】画函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：
（1）当x为何值时，y随x的增大而减小．
（2）当x为何值时，y＞0．
【分析】根据y＝（x﹣2）2﹣1可以画出函数的图象，然后根据函数图象可以解答问题（1），（2）．
【解答】解：函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象如右图所示，
（1）由函数图象可知，当x＜2时，y随x的增大而减小；
（2）由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，y＞0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的图象和性质，利用数
形结合的思想解答问题．
【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）y＝5（x+2）2﹣3；
（2）y＝﹣ （x﹣2）2+3；
（3）y＝ （x+3）2+6．
【分析】根据二次函数图象性质即可得答案．
【解答】解：（1）y＝5（x+2）2﹣3图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）y＝﹣ （x﹣2）2+3图象开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，3）；
（3）y＝ （x+3）2+6图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标是（﹣3，6）．
【点评】本题考查二次函数图象性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，
k）．
二次函数的平移
1.平移步骤：
yaxh2k h，k
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
yax2 h，k
⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2.平移规律：
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上
加下减”．
题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）
6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函
数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的
抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y＝2（x﹣2）2+3
的是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣3）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2x2﹣1
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析
式．
【解答】解：y＝2（x﹣2）2+3，其顶点坐标为（2，3）．
向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后的顶点坐标为（1，1），原抛物线的解析式是y＝2
（x﹣1）2+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式
是 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表
达式是y＝（x﹣3）2﹣3+5，即y＝（x﹣3）2+2，
故答案为：y＝（x﹣3）2+2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
题型7：利用增减性求字母取值范围
7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜7 B．k＞7 C．k＜0 D．k＞0【分析】根据a小于0图象开口向下，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，
k﹣7＜0，
解得k＜7．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次项系数小于0二次函数图象开口向下．
【变式7-1】已知点（x ，y ）、（x ，y ）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x ＜x 时，有
1 1 2 2 1 2
y ＞y ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】由当0＜x ＜x 时，有y ＞y ，可得出m﹣3＜0，解之即可得出m的取值范围．
1 2 1 2
【解答】解：∵当0＜x ＜x 时，有y ＞y ，
1 2 1 2
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据当0＜x ＜x 时y ＞y 结合二次函数的性质，找出关于m的一元
1 2 1 2
一次不等式是解题的关键．
【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P （﹣3，y ）、P （﹣1，y ）、P
1 1 2 2 3
（1，y ）三点．若y ＜y ＜y ，则h的取值范围是 ．
3 2 1 3
【分析】先由y ＜y ＜y 判断得到点P 离对称轴的距离比点P 离对称轴的距离远，点P 离对称轴的距
2 1 3 1 2 3
离比点P 离对称轴的距离远，然后得到h与横坐标之间的关系，从而求出h点的取值范围．
1
【解答】解：∵y ＜y ＜y ，
2 1 3
∴点P 离对称轴的距离比点P 离对称轴的距离远，点P 离对称轴的距离比点P 离对称轴的距离远，
1 2 3 1
∴ ，
解得：﹣2＜h＜﹣1．
故答案为：﹣2＜h＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是通过已知条件得到三点距离对称轴的远近
情况．
题型8：识别图象位置
8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【分析】先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一
次函数的性质解答．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴一次函数y＝ax+c的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：
二次函数y＝ax2+bx+c，当a＜0时，抛物线开口向下；抛物线与y轴交于（0，c），当c＞0时，与y轴交
于正半轴；当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在一、二、四象限．
【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据a、b与0的大小关系以及与x轴的交点情况即可作出判断．
【解答】解：函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象交于x轴上同一点（﹣ ，0），
A．二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，a＞0，ab＜0，则b＜0，
一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；
B．二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，a＜0，ab＞0，则b＜0，
一次函数的图象经过二、三、四象限，则a＜0，b＜0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；
C．二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，a＜0，ab＜0，则b＞0，
一次函数的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；
D．二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，a＞0，ab＜0，则b＜0，
一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，不交于x轴上同一点，符合题意；
故选：D．【点评】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据 a、b与0的大小关系进行分类讨
论，本题属于中等题型．
【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断．
【解答】解：当m＞0时，y＝mx的图象是经过原点和一三象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向上，与y轴
交于负半轴，对称轴是y轴，
当m＜0时，y＝mx的图象是经过原点和二四象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向下，与y轴交于负半轴，
对称轴是y轴，
故选：D．
【点评】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能
灵活解题
题型9：比较函数值的大小
9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y ），B（2，y ），C（3，y ），则y ，y ，
1 2 3 1 2
y 的大小关系为（ ）
3
A．y ＝y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＝y D．y ＜y ＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
【分析】将x值代入函数关系式计算y ，y ，y ，再比较大小可求解．
1 2 3
【解答】解：当x＝0时，y ＝1+h，
1
当x＝2时，y ＝1+h，
2
当x＝3时，y ＝4+h，
3
∵1+h＝1+h＜4+h，
∴y ＝y ＜y ，
1 2 3
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
【变式9-1】已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y ）、D（n，y ）均
1 2
在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】先求得抛物线的对称轴为x＝4，再抛物线开口向上，最后根据|m﹣h|＞|n﹣h|判断C离对称轴
比较远，从而判断出y 与y 的大小关系．
1 2
【解答】解：∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上，
∴h＝ ＝4，∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），
∴a＞0，开口向上，
∵C（m，y ）、D（n，y ）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴
进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
【变式9-2】抛物线y＝（x+2）2上有三点A（﹣4，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ），则对称轴为
1 2 3
；y ，y ，y 的大小关系为 ．
1 2 3
【分析】先求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，抛物线开口向上，
∵点A（﹣4，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）在该抛物线上，|﹣4﹣（﹣2）|＝2，|﹣1﹣（﹣2）|＝
1 2 3
1，|1﹣（﹣2）|＝3，
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故答案为：直线x＝﹣2，y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减
性和对称性．
题型10：简单综合问题
10.已知抛物线y＝ （x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于
另外一点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）试判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）利用顶点式直接得出顶点坐标A即可，另x＝0，得出与y轴交点B，利用对称性的出过
点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C；
（2）利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）分别求得AB、BC、AC，进一步利用勾股定理逆定理判定即可．
【解答】解：如图，（1）抛物线y＝ （x﹣5）2的顶点为A（5，0），
由x＝0，则y＝5，抛物线与y轴交，点B为（0，5），
因为对称轴为直线x＝5，所以点C的坐标为（10，5）；
（2）S△ABC ＝ ×10×5＝25；
（3）AB＝AC＝5 ，BC＝10，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点评】此题考查二次函数的性质，三角形的面积，勾股定理与勾股定理逆定理的运用，利用二次函数的
对称性是解决问题的关键．
【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交
抛物线y＝ x2于点B、C，求BC的长度．
【分析】先根据y轴上点的坐标特征得到A点的坐标为（0，3），再利用BC∥x轴得到B点、C点的纵
坐标都为3，然后对于函数y＝ x2于点B，计算出函数值为3所对应的自变量即可得到B、C点的坐
标，再计算BC的长度．
【解答】解：当x＝0时，y＝ax2+3＝3，则A点坐标为（0，3），
因为BC∥x轴，
所以B点、C点的纵坐标都为3，
当y＝3时， x2＝3，解得x ＝3，x ＝﹣3，
1 2
所以B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），
所以BC＝3﹣（﹣3）＝6．
【变式10-2】抛物线y＝ x2和直线y＝kx+b（k≠0）的交点是A和B，它们的横坐标分别是﹣1和3
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）先根据抛物线解析式求出点A、B解析式，再将两点坐标代入y＝kx+b求出k、b的值即
可得；
（2）结合图形割补法求解可得．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝ x2＝ ，则点A的坐标为（﹣1， ），当x＝3时，y＝ x2＝ ×9＝3，则点B坐标为（3，3），
将点A（﹣1， ）、B（3，3）代入y＝kx+b，
得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y＝ x+1；
（2）如图，
S△AOB ＝S梯形ACDB ﹣S△ACO ﹣S△BOD
＝ ×（ +3）×4﹣ ×1× ﹣ ×3×3
＝2．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及割补法求三角形的
面积是解题的关键
【变式10-3】在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线y＝ x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，
3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
【分析】（1）先将点A的坐标分别代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数解析式联立得到
一元二次方程，解方程求得B点的坐标；
（2）设直线与y轴的交点为C，根据S△AOB ＝S△AOC +S△BOC 列式计算即可得解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2与直线y＝ x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3），
则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a＝ ；代入y＝ x+b，解得：b＝2；将两方程联立得： x2＝ x+2，解方程得：x＝2或﹣ ，
则B点的坐标为（﹣ ， ）；
（2）设直线y＝ x+2与y轴的交点为C，则点C（0，2），
所以S△AOB ＝S△AOC +S△BOC
＝ ×2×（2+ ）
＝ ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，抛物线与直线交点的求法，函数
图象上点的坐标特征，（2）把△AOB分成两个三角形求面积更简便．
一、单选题
1．抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（-2，-1） D．（1，2）
【答案】A
【解析】【解答】抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标是：（2，1）．
故答案为：A．
【分析】利用抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
2．若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，则必须( )
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位名
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线向左平移4个单位长度，向上平移1个单位长度可以得
到对应抛物线。故答案为：B.
【分析】根据题意，由平移的性质、二次函数的性质，结合“上加下减、左加右减”的平移规律即可
得到答案。
3．对于二次函数 y=−(x−1) 2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 x=1 ，最小值是 2
B．对称轴是直线 x=1 ，最大值是 2
C．对称轴是直线 x=−1 ，最小值是 2
D．对称轴是直线 x=−1 ，最大值是 2
【答案】B
【解析】【解答】∵在二次函数 y=−(x−1) 2+2 中， a=−1<0 ，顶点坐标为（1，2），
∴其对称轴为直线 x=1 ，有最大值是2.
故答案为：B.
【分析】由于该函数的解析式给出了的是顶点式，而且二次项的系数是-1小于0，从而可以直接得出
其对称轴直线及最大值。
4．二次函数y=2(x－1) －1的顶点是( )．
A．(1，－1) B．(1，1) C．(－1，1) D．(2，－l)
【答案】A
【解析】【分析】因为y=2（x﹣1）2－1是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
∵抛物线解析式为y=2（x﹣1）2－1，
∴二次函数图象的顶点坐标是（1，－1）．
故选A．
5．对于抛物线 y=(x−2) 2−3 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线 x=2
C．抛物线不经过第三象限
D．当 x>3 时， y 随 x 的增大而减小
【答案】D【解析】【解答】A. 抛物线 y=(x−2) 2−3 ,中a＞0，抛物线开口向上，此项正确；
B.由解析式得，对称轴为直线x=2，此项正确；
C. 当x=0时，y=1，所以，该抛物线经过y轴正半轴，且对称轴是x=2，开口向上，所以图像经过一、
二、四三个象限，不经过第三象限，此项正确；
D.∵抛物线开口向下，对称轴为x=-2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故此项错误；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的开口，二次函数的对称轴，二次函数的顶点坐标以及二次函数的增减性对各
选项分析判断即可得解.
6．如果将一个二次函数图象沿着坐标轴向左平移3个单位，向下平移4个单位后得到的是y = 2（x -
6）2 + 4，则原函数解析式是（ ）
A．y =（x - 9）2 + 8 B．y = 2（x - 6）2
C．y = 2（x - 3）2 + 8 D．y = 2（x - 9）2 + 8
【答案】C
【解析】【解答】二次函数平移左加右减，上加下减，即把y = 2（x - 6）2 + 4向右平移3个单位，向
上平移4个单位，得到函数解析式是y = 2（x - 3）2 + 8，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的平移特点即可求解.
二、填空题
7．抛物线 y=2(x−1) 2+3 的顶点坐标是 ．
【答案】（1，3）
【解析】【解答】解：由题中所给解析式y=2 (x−1) 2 +3中的 (x−1) 2 可知顶点横坐标为1，再由后
面常数项可知顶点纵坐标为3，
因此顶点坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【分析】根据抛物线的顶点式进行解答即可。
8．已知点A(x ，y)、B(x ，y)在二次函数y=(x-1)2+1的图像上，若x>x >1，则y y．(填
1 1 2 2 1 2 1 2“>”“=”或“<”)
【答案】＞
【解析】【解答】解：∵a=1＞0
∴二次函数图象开口向上，
∵二次函数y=(x-1)2+1
∴对称轴为直线x=1
∵x>x >1
1 2
∴点A、点B在对称轴的右侧。
∴y随x的最大而增大
∴y＞y
1 2
故答案为：＞
【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进
而可得出结论。
9．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标那么它的顶点坐标为
【答案】（1，2）
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，
∴m＝1，
∴解析式y＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为：（1，2），
故答案为：（1，2）
【分析】首先根据对称轴是直线x＝1，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标．
10．已知A（﹣2，y）、B（﹣3，y）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y y．（填
1 2 1 2
“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】＜
【解析】【解答】由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，
∵1＞0，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵-2>-3，
∴y＜y，
1 2
故答案为：＜．【分析】由抛物线 y＝（x﹣1）2+c的图像性质，可以得到图像关于X=1对称。a=1,图像开口向上。
故当x<1时，y随x的增大而减小。-2>-3,故 y< y 。
1 2
11．已知二次函数 y=x2−4x+2 ，在-1≤x≤1的取值范围内，有最小值是 。
【答案】-1
【解析】【解答】解： y=x2−4x+2 ，
∴y=（x-2）2-4+2
=（x-2）2-2,
∴对称轴x=2,
∵a=1>0,
∴当x<2是y随x的增大而减小，
∴在-1≤x≤1的取值范围内，当x=1时有最小值，
∴y =12-4×1+2=-1.
min
【分析】将二次函数式配成顶点式，求出对称轴方程，由二次函数的性质可知，当a>0时，在对称轴
左边y随x的增大而减小，可得当x=-1时，y有最小值.
三、作图题
1
12．画出抛物线y＝﹣ （x﹣1）2+5的图象（要求列表，描点），回答下列问题：
2
（1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围；
（3）若抛物线与x轴的左交点（x，0）满足n≤x ≤n+1，（n为整数），试写出n的值．
1 1
【答案】（1）解：列表：
描点、连线由图象可知，
该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，5）；
（2）解：由图象可知，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1；
（3）解：当y＝0时，
1
0＝﹣ （x﹣1）2+5，
2
解得， x =−√10+1 ， x =√10+1 ，
1 2
则该抛物线与x轴的左交点为（ −√10 +1，0），
∵﹣3＜ −√10 +1＜﹣2，n≤x ≤n+1，（n为整数），
1
∴n＝﹣3．
【解析】【分析】根据二次函数图象的画法，先列表，然后描点、连线即可画出该抛物线的图象；
（1）根据画出的抛物线的图象，可以写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）根据函数图象，
可以写出当y随x的增大而增大时，x的取值范围；（3）令y＝0求出相应的x的值，即可得到x 的
1
值，然后根据n≤x ≤n+1，（n为整数），即可得到n的值．
1
四、解答题
13．当-2≤x≤1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
【答案】解：二次函数y＝-（x-3）2+m2+1的对称轴是x＝3，
∵a＝-1＜0，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
由题意得，当x＝1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，
则-（1-3）2+m2+1＝4，
解得，m ＝ √7 ，m ＝- √7 ．
1 2
【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质进行作答求解即可。14．已知抛物线 y=a(x−3) 2+2 经过点 (1,−2) ，若点 A(m,s) ， B(n,t) （ m3 时， y 随 x 的增大而
减小，
∵点 A(m,s) ， (n,t) （ m
