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第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.
重点：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.
难点：掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用其解决问题.
自 主 学
习
一、知识链接
1.用描点法画出二次函数y=4x2的图象.
2.函数y=－3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质
合作探究
在同一直角坐标系中，画出函数 +1， -1的图象．
观察与思考
抛物线 +1， -1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
典例精析
例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（ ）
A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4）
探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质
做一做 画出二次函数 ， ， 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶
点坐标、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是____________________；
(2)三条抛物线的开口方向____________________；
第 1 页 共 6 页(3)对称轴都是____________________ ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________；
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________.
(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________.
要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y
随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y
随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.
例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （ ）
A．开口方向相同 B．顶点相同
C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移
(教材P32例2变式)画出二次函数 y=2x2， y=2x2+1 ，y=2x2－1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶
点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
探究1 填写下表，观察函数对应值之间有什么联系？
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2 … …
y=2x2-1 … …
探究2 画出二次函数y=2x2－1，y=2x2，y=2x2+1的图象，观察它们之间有什么联系？
要点归纳：二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移－k个单位长度得到.
规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
想一想
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第 2 页 共 6 页2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（ ）
变式训练
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为( )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、
对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
三、课堂小结
1.开口方向由a的符号决定；
图象 2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
二次函y=ax2+k(a≠0)
的图象和性质 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
与y=ax2的关
k正向上；
系
k负向下.
当堂检
测
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．
2.填表
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
第 3 页 共 6 页y = 3x2
y = 3x2＋1
y =－4x2－5
3.已知(m，n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上，则点(－m，n) (填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象
上.
4. 若y=x2+(k－2)的顶点是原点，则k ；若顶点位于x轴上方，则k ；若顶点位于x轴下方，则k .
5.已知二次函数y=(a－2)x2+a2－2的最高点为(0，2)，则a= .
6.已知抛物线y=ax2+k.
（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是
____________;
（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则
a=______,k=______;
（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线
y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________.
能力提升：
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S ＝4，求P点的坐标．
△PAB
参考答案
自主学习
知识链接
1.画图略
2.向下 y轴 （0,0） 增大 减小
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质
合作探究
第 4 页 共 6 页列表如下：
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 …
描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.
图① 图②
观察与思考
二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 （0,1） y轴
向上 （0,-1） y轴
典例精析
例1 B
探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质
做一做
二次函数 ， ， 的图象如图②所示.
（1）抛物线 （2）向下 （3）y轴（或直线x=0） (4)(0,2),(0,0),（0，-2）
（5）高 大 y=2 y=0 y=-2
（6）对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小
例2 C
探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移
探究1
x … －1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 …
第 5 页 共 6 页探究2
画图如图所示.
练一练 D
想一想
1.第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
例3 D 变式训练 D
当堂检测
1.y = 2x2－4
2.
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = 3x2 向上 （0,0） y轴 有最低点
y = 3x2＋1 向上 （0,1） y轴 有最低点
y =－4x2－5 向下 （0,-5） y轴 有最高点
3.在 4.=2 ＞2 ＜2 5.-2
6.（1）y=-2x2-3 （2）-0.5 -3 （3）y=x2+5 y=x2+2
能力提升
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝
4.∵S ＝4，设P点纵坐标为b，∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±
△PAB
，此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
第 6 页 共 6 页
