初中数学同步8年级下册专题17.2勾股定理的逆定理（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_讲义_学生版在此文件夹

专题 17.2 勾股定理的逆定理 1、熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。 2、理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数。 3、熟练掌握分类讨论的数学思想。 知识点01 勾股定理的逆定理 【知识点】 1)勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直 角三角形。 2)勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。 证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。 根据勾股定理b2－x2=c2－(a ±x)2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0 ∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形 注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形。 1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. 2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 【知识拓展1】直角三角形的判定 例1．(2022·安徽芜湖·八年级期末)已知 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断 是直角三 角形的是( ) A． B． C． ， ， D． 【即学即练1】1．(2022·广西贵港·八年级期末)下列条件：① ；② ， ， ；③ ；④ ．其中能判定 是直角三角形的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【知识拓展2】勾股定理的逆定理的应用(1)面积问题 例2．(2022·陕西八年级期末)为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿 地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在ABC中，AB AC，E是AC上的一点，CE5， BC 13，BE12．(1)判断△ABE的形状，并说明理由．(2)求线段AB的长． 【即学即练2】 1．(2022·天津八年级期中)如图，四边形 中， ， ， ， ，且 ，则四边形 的面积为( ) A． B． C． D． 2．(2022·山东聊城·八年级期末)聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块 可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝ 90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【知识拓展3】勾股定理的逆定理的应用(2) 例3．(2022·江苏八年级期中)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端 气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且 点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续 的时间有 小时． 【即学即练】 1．(2022·重庆·八年级期中)如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘 轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海 里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方 向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由． C, A, B, 2．(2022·湖北八年级期末)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 ABAC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A、H、B CH, CB1.5 CH 1.2 HB0.9 在同一条直线上)，并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米．(1)问CH 是否为从村庄C到河边的最近路．请通过计算加以说明；(2)求新路CH 比原路CA少多少千米． 【知识拓展4】网格中的勾股定理 1 A,B,C 例4．(2022·山西初二期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 ，点 在小正方形的 AB,BC ABC  o 格点上，连接 ，则 ________ ． 【即学即练】 1．(2022·山东邹城初二期末)如图，在正方形网格中，每一个小方格的顶点叫做格点． (1)在图1中的正方形网格中，取A，B，C三个格点，连接AB，BC，CA，得到△ABC，求证：△ABC为直角三 角形； (2)按下列要求画图：在图2和图3的两个正方形网格中，分别取三个格点，连结这三个格点，使之 构成直角三角形，且图1、图2、图3中的三个三角形互不全等． 2．(2022·浙江温岭)如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1， ABC的顶点均为网格上的格点 (1)AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． (2)∠△ABC＝ ° (3)在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P(用P 、P ……表示) 1 2知识点02 勾股数 【知识点】 1)勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数 2)常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 注意：这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数。在考察勾 股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。 【知识拓展1】勾股数 例1．(2022·江苏邗江·八年级期中)下列各组数是勾股数的是( ) A．12、15、18 B．0.3、0.4、0.5 C．12、16、20 D．1.5、3、2.5 【即学即练1】 1．(2022·湖北八年级期末)下列四组数据中，不是勾股数的是( ) A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41 【知识拓展2】勾股数的相关运用 例2．(2022·北京初二期中)如果正整数a、b、c满足等式 ，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某 同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为( ) A．47 B．62 C．79 D．98 【即学即练2】 2．(2022·广西八年级期末)《九章算术》提供了许多整勾股数，如(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)等， 并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的 奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它 除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数” 为( ) A．16 B．17 C．25 D．64 【知识拓展3】分类讨论思想 例3．(2022·湖南八年级期末)定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 、 ，若以 、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割点． (1)已知 、 把线段 分割成 、 、 ，若 ， ， ，则点 、 是线 段 的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点 、 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ， ，求 的长． 【即学即练3】 ABC BC a AC b ABc c 1．(2022·老河口市第四中学初二月考)在 中， ， ， .设 为最长边.当 a2 b2 c2 ABC a2 b2 c2 a2 b2 c2 时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究 ABC 的形状(按角分类)． ABC ABC ABC (1)当 三边分别为6、8、9时， 为______三角形；当 三边分别为6、8、11时， ABC a2 b2 c2 ABC a2 b2 c2 为______三角形．(2)猜想，当 ______ 时， 为锐角三角形；当 ______ 时， ABC a2 b4 ABC c 为钝角三角形．(3)判断当 ， 时， 的形状，并求出对应的 的取值范围．题组A 基础过关练 1．(2022·贵州遵义市·八年级期末)下列三个数中，能组成一组勾股数的是( ) A． ， ， B．32，42，52 C． ， ， D．12，15，9 2．(2022·河南初二期中)适合下列条件的 ABC中, 直角三角形的个数为 △ ① ② ，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°； ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑹ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．(2022·安徽八年级期中)已知M ，N 是线段AB上的两点，AM MN 2，NB1，以点A为圆心， AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C，则ABC一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．(2022·湖北·荆州八年级期中)如图，在4×4方格中作以AB为一边的RtABC，要求点C也在格点上，这 样的RtABC能作出( )A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 5．(2022·山西灵石八年级期中)古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结， 然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角， 这样做的道理是( ) A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于180° C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 6．(2022·湖北八年级期末)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离 开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们 离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行， 那么“海天”号沿______的方向航行． 7．(2022·江苏苏州中学八年级期中)如图，每个小方格都是边长为1的正方形． (1)求图中格点四边形ABCD的面积；(2)求四边形ABCD的周长；(3)求∠ADC的度数．8．(2022·绥德县德群中学八年级期末)某中学 、 两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ， 学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米， 米， 米．(1)求出四边形空地 的面积；(2)若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需 投入多少元． 题组B 能力提升练 1．(2022·成都市八年级期中)某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票 价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已 知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格( ) A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元 2．(2022·浙江绍兴·一模)同一平面内有 ， ， 三点， ， 两点之间的距离为 ，点 到直线 的 距离为 ，且 为直角三角形，则满足上述条件的点 有______个． 3．(2022·四川广元·八年级期末)如图，四边形 是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验 田”，经过测量得知 ．求四边形 的面积． 4．(2022·江苏邳州·八年级期中)观察下列各组勾股数 (1)3，4，5(2)5，12，13；(3)7，24，25：(4)9，40，41 照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ___． 5．(2022·河南内乡初二期中)如图(1)是超市的儿童玩具购物车，图(2)为其侧面简化示意图，测得支架 AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.(结果保留整数)6．(2022·河南·八年级阶段练习)我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了 防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮 船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同 时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向 为北偏西 ．(1)求甲巡逻艇的航行方向(用含n的式子表示);(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方 向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 7．(2022·锦江区八年级月考)阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们 a2 b2c2 可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角 a2 b2c2 a2 b2c2 三角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如： 62 364252 若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角 形，请解答以下问题：(1)若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． x2 (2)若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．a2 b4 ABC c2 (3)当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围． 8．(2022·江西宜春·八年级期中)在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格 和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求 的面积．如图1，在正方形网 格(每个小正方形的边长为1)中，画出格点 (即 三个顶点都在小正方形的顶点处)，不需要求 的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则 的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为 ，点B为 ，则线段 的长为___________；②若点A为 ，点B为 ，则线段 的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小： _______ (填“>”或“<”)； (4)若 三边的长分别为 、 、 ( ， ．且 )，请在如图3 的长方形网格中(设每个小长方形的长为m，宽为n)，运用构图法画出 ，并求出它的面积(结果用m， n表示)．题组C 培优拔尖练 1．(2022·江苏赣榆·八年级期末)如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是 △ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___． 2．(2022·江苏常州·八年级期中)如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠， 使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___． 3．(2022·合肥市八年级期中)如图，点C为直线l上的一个动点，ADl于D点，BEl于E点， ADDE4，BE1，当CD长为________________ABC为直角三角形． 4．(2022·全国·八年级专题练习)勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就 有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三 角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 ：等等都是勾股数． 【探究1】(1)如果 是一组勾股数，即满足 ，则 为正整数)也是一组勾股数．如； 是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； (2)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出 公式为正整数)是一组勾股数，证明满足以上公式的 是一组勾 股数； (3)值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当 ， 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请根据这一结 论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，并且勾为 时股 ，弦 ；勾 为时，股 ，弦 ； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股 ___ _；弦 ___ _； (2)如果用 且 为奇数)表示勾，请用含有 的式子表示股和弦，则股 ___ ；弦 __ _； (3)观察 ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 起也没有间断过． _； 请你直接用 为偶数且 )的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长 _ _． 5．(2022·河南郑州·八年级期中)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN， NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． (1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的 勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM ＝4，求BN的长．6．(2022·全国·八年级课时练习)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角 线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)下列四边形是勾股四边形的有 ．(填序号) ①长方形；②平行四边形；③正方形；(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(0，4)，B(3，0)， 请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标 ____________(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB ＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形． 7．(2022·四川八年级期末)在ABC中，ABc，BC a，AC b．如图1，若C 90时，根据勾股定 a2b2 c2 理有 ．ABC a2b2 c2 (1)如图2，当 为锐角三角形时，类比勾股定理，判断 与 的大小关系，并证明； ABC a2b2 c2 (2)如图3，当 为钝角三角形时，类比勾股定理，判断 与 的大小关系，并证明； (3)如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知B90，AB80米，BC 60米，CD90米，AD110 米，求这块试验田的面积．