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22.3 实际问题与二次函数
教学目标：
1. 能根据二次函数的性质，确定二次函数的最大（或最小）值。
2. 能根据具体问题中的数量关系，用相应的二次函数的概念、图形及性质解决现实生活中求最大面积、
最大利润、拱形建筑物的计算问题等。
3. 体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值。
教学重难点：
重点：会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.
难点：建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.
知识点一 二次函数的最值
一般地，当 >0（ <0）时，抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当
时，二次函数 有最小（大）值 。
【例题】抛物线y=（x﹣1）2+3（ ）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
【变式1】关于二次函数y=﹣2（x﹣3）2+5的最大值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值是3 B．最大值是﹣3 C．最大值是5 D．最大值是﹣5
【变式2】二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是（ ）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
【变式3】已知二次函数y=x2﹣4x+m的最小值是﹣2，那么m的值是 ．
知识点二 建立二次函数模型求生活中的最大（小）值问题
在日常生活中，经常会遇到求某种图形的最大面积或活力最大经济利润或怎么样最节省开支问题，利
用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，即把这类问题转化为求二次函数的最大（小）值问题。
解决这类问题的一般步骤为：
（1）找等量：分析题目中的数量关系
（2）列式：列出函数解析式
（3）求最大（小）值；利用配方法把 化为 的形式或利用公式法确定最
值。
【例题】如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长
为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？【变式1】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃
的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．
【变式2】某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长40m，设这
个长方形的相邻两边的长分别为x（m）和y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为5m，求自变量x的取值范围．
知识点三 建立二次函数模型解决生活中的抛物线形问题
在生活实际中常碰到一下抛物线形的问题，如：拱形桥洞、涵洞、隧道洞、拱形门、球类的运动路线、
跳水运动员的运动路线等。对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决这
类问题的关键，然后用待定系数法求出函数解析式，利用函数性质解决问题。
【例题】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平
距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图
所示的平面直角坐标系中，篮球出手时离地面的高度是多少？【变式1】如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为多少？
【变式2】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运
行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，
达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，球是
否会过球网，是否会出界？
拓展点一 求二次函数的最大（小）值
【例题】当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2D．﹣1或2
【变式1】已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确
的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值拓展点二 建立二次函数模型求最大面积
【例题】如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2
（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
【变式】在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整
个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm．
（1）求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．拓展点三 建立二次函数模型求最大利润
【例题1】某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给
商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一
天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，
设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多
少元？
【例题2】绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线
ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y（元）、生产成本y（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
1 2
（1）求该产品销售价y（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
1
（2）直接写出生产成本y（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
2
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【变式1】某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经
调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
每个商品的售价x（元） … 30 40 50 …
每天的销售量y（个） 100 80 60 …
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【变式2】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，
该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为 44元时，日销售量
为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润
是多少？
拓展点四 生活中的“抛物线形”问题
【例题】如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为
100米，则拱门的最大高度是多少？【变式1】如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平
距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心
距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员
应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m
【变式2】竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图
所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.9秒 C．第4.5秒 D．第6.5秒
拓展点五 动态几何问题
【例题】如图，已知抛物线y=（x﹣1）2+k的图象与x轴交于点A（﹣1，0），C两点，与y轴交于点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P使S = S ？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
△PAC △ABC
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请
说明理由．【变式】已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存
在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
拓展点六 方案解决问题
【例题】安庆迎江区农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩
形的养圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长24米的墙，设计了如图一
个矩形的养圈．
（1）请你求出张大伯设计的矩形养圈的面积．
（2）请你判断他的设计方案是否使矩形养圈的面积最大？如果不是最大，应怎样设计？请说明理由．拓展点七 判断说理问题
【例题】甲、乙两人进行羽毛球比赛，把球看成点，其飞行的路线为抛物线的一部分．如图建立平面直角
坐标系，甲在O点正上方1m的P处发球，羽毛球飞行的高度y（m）与羽毛球距离甲站立位置（点O）的水
平距离x（m）之间满足函败表达式y=a（x﹣4）2+h．已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为
1.55m，球场边界距点O的水平距离为10m．
（1）当a=﹣ 时，求h的值，并通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，乙在另一侧距球网水平距离lm处起跳扣球没有成功，球在距球网水平距离lm，离
地面高度2.2m处飞过，通过计算判断此球会不会出界？
