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22.3 实际问题与二次函数 教学设计
课题 22.3 实际问题与二次函 单元 第22章 学科 数学 年级 九年级
数
学习 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
目标 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.利用二次函数解决实际生活中的面积问题、利润问题、拱桥问题.
重点 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
难点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.二次函数的顶点式及性质? 学生回忆、思 回顾前面所学
y=a(x-h)2+k (a≠0) 考并回答问题 知识，为下面内
性质：(1)a>0，开口向上，a<0，开口向下；(2)对称 容的学习奠定基
轴：直线x=h；(3)顶点坐标（h，k）；(4)增减性： 础.
a>0，对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减
小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
a<0，对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增
大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.
2.二次函数的一般式及性质?
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
性质：(1)a>0，开口向上，a<0，开口向下；(2)对称
轴：直线x= ；(3)顶点坐标
；(4)增减性：a>0，对称轴左侧，从左向右下降，y随
x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增
大而增大. a<0，对称轴左侧，从左向右上升，y随
x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增
大而减小.讲授新课 环节一：问题导入 自主探究，合 利用图象求出方
问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h 作交流，同构 程的根，体会知
（单位：m）与小球的运动时间 （t 单位：s）之间的关 具体问题理解 识间的联系，形
系式是 h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多 二次函数图象 成知识网络.
少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 与一元二次方
如图所示： 程的联系.
在顶点处，小球最高，即 t取顶点横坐标时，函数有
最大值，此时小球达到最大高度，即顶点的纵坐标.
因此，当 时， h有最大值
所以，小球运动3s时，小球最高，最大高度是45m.
还有其他方法吗？
∵h=30t-5t 2=-5(t 2-6t)=-5(t -3)2+45，
∴当t=3时，h最大=45.
所以小球运动时间为3 s时，小球最高，最大高度
为45 m.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax 2 + bx +
c 的 顶 点 是 最 低 （ 高 ） 点 ， 也 就 是 说 当
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c有最小（大）值
.
环节二：合作探究
探究1 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩
形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化.当 l 是
多少米时，场地的面积 S 最大？
分析 先写出 S 关于 l 的函数解析式，再求出使 S
最大 的l 值.
解： 矩形场地周长为 60 m ，一边长为 l m，所以
另一边长为 ，
场地的面积 S =l(30-l)即 S=-l2+30l (06125
∴定价 65 元时，利润最大.
小结：二次函数解决销售利润最值问题的步骤：
1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利
润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售
量”；
2.结合实际意义，确定自变量的取值范围.；
3.在自变量的取值范围内确定最大利润.
可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画
出函数的简图，利用简图和性质求出.
探究3 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶
离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度
增加了多少？
借助典型例
我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的
题,展示利用
坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.
二次函数图象 培养学生利用函
怎样建立平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解
求一元二次方 数图象求方程实
析式更简单？
程近似值的步 数根的步骤.
建立如下四种不同的直角坐标系
骤，并进行总
结.
通过以上四种不同建系方法的对比，发现这样建系
更简单：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称
轴为y轴建立直角坐标系(如图)
解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax².由抛物线经过点A（2，-2），可得
-2=a×(-2)²
这条抛物线的解析式为 .
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3，代入上面的
解析式可得：
此时，水面宽度为 m，水面宽度增加 (
) m.
小结：二次函数解决拱桥问题的步骤：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
(3) 恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数
学生练习，师
法求出抛物线的解析式;
生互评订正. 学以致用，让学
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐
生理解二次函数
标，进而得到实际问题的解.
与一元二次方程
环节三：课堂练习
之间的联系.
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直
角边各为4,4时，这个直角三角形的面积最大，最大
值是8.
2.飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间
t(单位：s)的函数解析式是 y=60t-1.5t2.在飞机着陆
滑行中，最后 4 s滑行的距离是24m.
3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠
墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m
的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x
m，绿化带的面积为 y m 2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量
x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最
大？
25 m
A D
B C解：（1）设绿化带的 BC 边长为 x m，则 AB 边长
为 m.
∵
∴0
