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22.3 实际问题与二次函数
教学目标：
1. 能根据二次函数的性质，确定二次函数的最大（或最小）值。
2. 能根据具体问题中的数量关系，用相应的二次函数的概念、图形及性质解决现实生活中求最大面积、
最大利润、拱形建筑物的计算问题等。
3. 体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值。
教学重难点：
重点：会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.
难点：建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.
知识点一 二次函数的最值
一般地，当 >0（ <0）时，抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当
时，二次函数 有最小（大）值 。
【例题】抛物线y=（x﹣1）2+3（ ）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最大（小）值的方法．
【解答】解：由函数关系式可知，
x的系数为1＞0，
抛物线y=（x﹣1）2+3有最小值，
于是当x=1时y=3．
故选：D．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是
公式法．
【变式1】关于二次函数y=﹣2（x﹣3）2+5的最大值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值是3 B．最大值是﹣3 C．最大值是5 D．最大值是﹣5
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：因为a=﹣2＜0，
所以二次函数y=﹣2（x﹣3）2+5的最大值为5，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，最值解答．
【变式2】二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是（ ）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
【解答】解：y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，
即二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．
【变式3】已知二次函数y=x2﹣4x+m的最小值是﹣2，那么m的值是 2 ．【分析】先把y=x2﹣4x+m配成顶点式得到y=（x﹣2）2+m﹣4，根据二次函数的性质得到当x=2时，y有最
小值为m﹣4，根据题意得m﹣4=﹣2，然后解方程即可．
【解答】解：y=x2﹣4x+m
=（x﹣2）2+m﹣4，
∵a=1＞0，
∴当x=2时，y有最小值为m﹣4，
∴m﹣4=﹣2，
∴m=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，
y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=
时，y= ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的
增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x= 时，y= ．
知识点二 建立二次函数模型求生活中的最大（小）值问题
在日常生活中，经常会遇到求某种图形的最大面积或活力最大经济利润或怎么样最节省开支问题，利
用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，即把这类问题转化为求二次函数的最大（小）值问题。
解决这类问题的一般步骤为：
（1）找等量：分析题目中的数量关系
（2）列式：列出函数解析式
（3）求最大（小）值；利用配方法把 化为 的形式或利用公式法确定最
值。
【例题】如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长
为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？
【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC= （30﹣x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关
系式．
【解答】解：∵AB边长为x米，
而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC= （30﹣x），
菜园的面积=AB×BC= （30﹣x）•x，
则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣ x2+15x．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式用 x表示BC，然后利用矩
形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长．【变式1】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃
的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．
【分析】（1）花圃的面积=AB×（篱笆长﹣3AB），根据边长为正数可得自变量的取值范围；
（2）结合（1）及AD不大于9可得自变量的公共取值．
【解答】解：（1）S=BC×AB=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x
由题意得：
0＜x＜8
（2）∵24﹣3x≤9
∴x≥5
结合（1）得，5≤x＜8．
【点评】考查一次函数的应用；得到AD边长的关系式是解决本题的突破点；得到自变量的取值是解决本题
的易错点．
【变式2】某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长40m，设这
个长方形的相邻两边的长分别为x（m）和y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为5m，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）由题意可得y关于x的函数表达式，由x＞0，40﹣2x＞0，从而可以得出x的取值范围．
（2）由题意可知，y≤5，然后根据第一问中的表达式可以确定x的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可得，2x+y=40，
∴y=40﹣2x．
∴自变量x满足的条件为 ．
解不等式组得，0＜x＜20．
∴y关于x的函数表达式为：y=40﹣2x（0＜x＜20）．
（2）由题意可得，40﹣2x≤5，
解得，x≥17.5．
故长方形猪栏砖墙部分的长度为5m，自变量x的取值范围为：17.5≤x＜20．
【点评】本题考查根据实际问题列出函数的关系式并且确定自变量的取值范围，关键是明确题意，找出相
应的关系，确定自变量的取值范围．知识点三 建立二次函数模型解决生活中的抛物线形问题
在生活实际中常碰到一下抛物线形的问题，如：拱形桥洞、涵洞、隧道洞、拱形门、球类的运动路线、
跳水运动员的运动路线等。对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决这
类问题的关键，然后用待定系数法求出函数解析式，利用函数性质解决问题。
【例题】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平
距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图
所示的平面直角坐标系中，篮球出手时离地面的高度是多少？
【分析】设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2，5时，即可求
得结论．
【解答】∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模
的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
【变式1】如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为多少？【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点（2，﹣2）代入求出解析式，继而求得y=﹣3时x
的值即可得解．
【解答】解：建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为y=ax2，
把点（2，﹣2）代入，得
﹣2=a×22，
解得：a=﹣ ，
∴y=﹣ x2，
当y=﹣3时，﹣ x2=﹣3．
解得：x=±
∴水面下降1m，水面宽度为2 m．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问
题．
【变式2】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运
行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，
达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，球是
否会过球网，是否会出界？
【分析】利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k=6，h=2.6，球从O点正上方2m的A处
发出，将点（0，2）代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，﹣ （x﹣6）2+2.6=0，分别得出即可．
【解答】解：（1）∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y=a（x﹣6）2+2.6过点，
∵抛物线y=a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣ ，
故y与x的关系式为：y=﹣ （x﹣6）2+2.6，
当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，﹣ （x﹣6）2+2.6=0，
解得：x=6+2 ＞18，x=6﹣2 （舍去）
1 2
故会出界．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出函数解析式是解题关键．
拓展点一 求二次函数的最大（小）值
【例题】当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2D．﹣1或2
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即
可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y=1时，有x2﹣2x+1=1，
解得：x=0，x=2．
1 2
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特
征找出当y=1时x的值是解题的关键．
【变式1】已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确
的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值 2，无最小值
【分析】直接利用利用函数图象得出函数的最值．
【解答】解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，
∴x=1时，有最大值 2，x=4时，有最小值﹣2.5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，利用数形结合分析是解题关键．
【变式2】若关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4，则a的值为 2 ．
【分析】根据二次函数的性质列出不等式和等式，计算即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4，
∴a2=4，a＞0，
解得，a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
拓展点二 建立二次函数模型求最大面积
【例题】如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2
（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
【分析】（1）由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式；
（2）由（1）中的函数关系可知y和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．
【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，
∴长为 m，
∴y=x• =﹣ （0＜x＜2），
（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，
a=﹣ ＜0，
∴函数有最大值，
当x=﹣ 时，y = m2．
最大
答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．【点评】本题考查的是长方形的面积公式及二次函数的最值问题，属较简单题目．
【变式】在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整
个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm．
（1）求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
【分析】（1）用含x的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可得出 y关于x的函
数解析式，结合题意标明x的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性，由此即可解决最值问题．
【解答】解：（1）镶金色纸边后风景画的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，
∴y=（80+2x）•（50+2x）=4x2+260x+4000（1≤x≤2）．
（2）∵二次函数y=4x2+260x+4000的对称轴为x=﹣ =﹣ ，
∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y取最大值，最大值为4536．
答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536cm2．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）结合矩形的面积找出y关
于x的函数解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题
目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．
拓展点三 建立二次函数模型求最大利润
【例题1】某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给
商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一
天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，
设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多
少元？
【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
（2）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知y=2x+40；
（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
=﹣2x2+80x+2400，
=﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a=﹣2＜0，
∴函数有最大值，∴当x=20时，w有最大值为3200元，
∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关
系式是解决问题的关键．
【例题2】绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线
ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y（元）、生产成本y（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
1 2
（1）求该产品销售价y（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
1
（2）直接写出生产成本y（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
2
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（2）显然，当0≤x≤50时，y=70；当130≤x≤180时，y=54；当50＜x＜130时，设y 与x之间的函数
2 2 2
关系式为y=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
2
（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．
【解答】解：（1）设y 与x之间的函数关系式为y=kx+b，
1 1
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴ ，解得： ，
∴产品销售价y（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y=﹣ x+168（0≤x≤180）；
1 1
（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y=70；
2
当130≤x≤180时，y=54；
2
当50＜x＜130时，设y 与x之间的函数关系式为y=mx+n，
2 2
∵直线y=mx+n经过点（50，70）与（130，54），
2
∴ ，解得 ，
∴当50＜x＜130时，y=﹣ x+80．
2综上所述，生产成本y（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y= ；
2 2
（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W=x（﹣ x+168﹣70）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50＜x＜130时，W=x[（﹣ x+168）﹣（﹣ x+80）]=﹣ （x﹣110）2+4840，
∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；
③当130≤x≤180时，W=x（﹣ x+168﹣54）=﹣ （x﹣95）2+5415，
∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象
出二次函数模型．
【变式1】某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经
调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
每个商品的售价x（元） … 30 40 50 …
每天的销售量y（个） 100 80 60 …
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
则 ，
解得 ，
即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+160；
（2）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣2x+160）=﹣2x2+200x﹣3200，
即w与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+200x﹣3200；
（3）∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2（x﹣50）2+1800，20≤x≤60，
∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大；
当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；
当x=50时，w取得最大值，此时w=1800．
即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性
质．
【变式2】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为 44元时，日销售量
为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润
是多少？
【分析】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），将（44，72），（48，64）代入，利用待定系
数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据（1）的函数关系式，利用求二次函数最值的方法便可解出答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
由题意得： ，
解得：k=﹣2，b=160，
所以y与x之间的函数关系式是y=﹣2x+160（40≤x≤80）；
（2）由题意得，w与x的函数关系式为：
w=（x﹣40）（﹣2x+160）=﹣2x2+240x﹣6400=﹣2（x﹣60）2+800，
当x=60元时，w最大利润是800元，
所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元．
【点评】此题考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关
键．
拓展点四 生活中的“抛物线形”问题
【例题】如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为
100米，则拱门的最大高度是多少？
【分析】因为拱门是抛物线形，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可
列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标
的问题．
【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系（以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立直角坐
标系），
此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），
设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），
∵抛物线经过点B（50，150），
可得 150=a（50﹣100）（50+100）．
解得 a=﹣ ，∴y=﹣ （x﹣100）（x+100）．
即 抛物线的解析式为y=﹣ x2+200
顶点坐标是（0，200）
∴拱门的最大高度为200米，
故选：C．
【点评】此题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结
合，是一道基础题．
【变式1】如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平
距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心
距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员
应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m B．比开始高0.4m C．比开始低0.8m D．比开始低0.4m
【分析】根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题．
【解答】解：由题意可得，
运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
∴运动员出手的位置距地面的高度为3m，
∵3﹣2.2=0.8，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性
解答．
【变式2】竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图
所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）A．第3秒 B．第3.9秒 C．第4.5秒 D．第6.5秒
【分析】根据题意可求得函数的对称轴，从而可以得到选项中那个时间对应的函数值最大，从而可以解答
本题．
【解答】解：由题意可得，
h=at2+bt的对称轴为直线x= ，
∴当x=4，h取得最大值，
∴在选项中当t=3.9时，h的值最大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
拓展点五 动态几何问题
【例题】如图，已知抛物线y=（x﹣1）2+k的图象与x轴交于点A（﹣1，0），C两点，与y轴交于点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P使S = S ？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
△PAC △ABC
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线y=（x﹣1）2+k，求出k即可解决问题．
（2）存在．先求出△ABC的面积，再根据已知条件求出点P的纵坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）存在．分三种情形讨①当AQ=AB时，有两种情形a、当Q 在x轴上方，；b、当Q 在x轴下方时，利
1 2
用勾股定理即可解决问题．
②当BA=BQ时，此时Q在x轴上，即Q（1，0）．
3
③当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线的解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入抛物线y=（x﹣1）2+k得，0=4+k，
∴k=﹣4，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，
令x=0，得y=﹣3，
∴点B坐标为（0，﹣3）．（2）存在．如图1中，
理由：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
∴x=﹣1或3，
∴点A（﹣1，0），C（3，0），
∴S = ×4×3=6，
△ABC
∵S = S ，
△PAC △ABC
∴S = ，设P（m，n），
△PAC
则有 ×4×|n|= ，
∴n= ，
当n= 时，m2﹣2m﹣3= ，解得m=﹣ 或 ，此时P（﹣ ， ）或（ ， ），
当n=﹣ 时，m2﹣2m﹣3=﹣ ，解得m= 或 ，此时P（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
（3）如图2中，存在．
①当AQ=AB时，有两种情形a、当Q 在x轴上方，此时Q （1， ）；b、当Q 在x轴下方时，此时Q
1 1 2 2
（1，﹣ ）．②当BA=BQ时，此时Q在x轴上，Q（1，0）．
3
③当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），
∴直线AB解析式为y=﹣3x﹣3，线段AB的中点为（﹣ ，﹣ ），
设线段AB的中垂线的解析式为y= x+m．
∴﹣ =﹣ +m，
∴m=﹣ ，
∴线段AB的中垂线的解析式为y= x﹣ ，与对称轴的交点Q（1，﹣1），
4
综上所述，满足条件的点Q坐标为（1， ）或（1，﹣ ）或（1，0）或（1，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、三角形的面积．平行线的性质、等腰三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．
【变式】已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存
在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B
的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，
再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）设点 M 的坐标为（1，m），则 CM= ，AC= = ，AM=
，分∠AMC=90°、∠ACM=90°和∠CAM=90°三种情况，利用勾股定理可得出关于m
的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．当y=0时，有﹣x2+2x+3=0，
解得：x=﹣1，x=3，
1 2
∴点B的坐标为（3，0）．
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+d中，
得： ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∵当x=1时，y=﹣x+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．
（3）设点M的坐标为（1，m），
则CM= ，AC= = ，AM= ．
分三种情况考虑：
①当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，即10=1+（m﹣3）2+4+m2，
解得：m=1，m=2，
1 2
∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；
②当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，
解得：m= ，
∴点M的坐标为（1， ）；
③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，
解得：m=﹣ ，
∴点M的坐标为（1，﹣ ）．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）、（1，2）、（1， ）或（1，﹣ ）．【点评】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对
称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析
式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；（3）分∠AMC=90°、∠ACM=90°和
∠CAM=90°三种情况，列出关于m的方程．
拓展点六 方案解决问题
【例题】安庆迎江区农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩
形的养圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长24米的墙，设计了如图一
个矩形的养圈．
（1）请你求出张大伯设计的矩形养圈的面积．
（2）请你判断他的设计方案是否使矩形养圈的面积最大？如果不是最大，应怎样设计？请说明理由．
【分析】（1）先设设计的矩形羊圈的宽为x米，则长为（40﹣2x）米，根据矩形的面积公式列出算式，即
可求出答案；
（2）根据（1）中得出的函数关系式，求出函数的最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）设设计的矩形羊圈的宽为x米，则长为（40﹣2x）米，
则矩形羊圈的面积为：S=（40﹣2x）x=（40x﹣2x2）米2；
（2）∵S=（40x﹣2x2），
∴当x=﹣ =10时，S最大，此时长为40﹣2×10=20（米），
∴他的设计方案不是最大，应设计为长为20米，宽10米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式，用到的知识点是二次函数的最值．
拓展点七 判断说理问题
【例题】甲、乙两人进行羽毛球比赛，把球看成点，其飞行的路线为抛物线的一部分．如图建立平面直角
坐标系，甲在O点正上方1m的P处发球，羽毛球飞行的高度y（m）与羽毛球距离甲站立位置（点O）的水
平距离x（m）之间满足函败表达式y=a（x﹣4）2+h．已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为
1.55m，球场边界距点O的水平距离为10m．
（1）当a=﹣ 时，求h的值，并通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，乙在另一侧距球网水平距离lm处起跳扣球没有成功，球在距球网水平距离lm，离地面高度2.2m处飞过，通过计算判断此球会不会出界？
【分析】（1）a=﹣ 时，y=﹣ （x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入求得h的值即可得函数解析式，再
求出x=5时y的值，与球网高度比较即可得；
（2）将（0，1）、（6，2.2）代入解析式求得函数解析式，再求出x=10时y的值，大于零说明出界，小
于零说明不出界．
【解答】解：（1）当a=﹣ 时，y=﹣ （x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入得：1=﹣ （﹣4）2+h，
解得：h= ，
∴y=﹣ （x﹣4）2+ ，
当x=5时，y=﹣ ×（5﹣4）2+ = ，
∵ =1.75＞1.55，
∴球能过网．
（2）由题意知，球过P（0，1）、（6，2.2）两点，
则 ，
解得： ，
所以y=﹣ （x﹣4）2+ ，
当x=10时，y=﹣ （10﹣4）2+ =﹣1＜0，
∴此球不会出界．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题
转化为二次函数问题求解
