文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
22.3 实际问题与二次函数
题型导航
题型1
图形问题
实际
问 题 题型2
图形运动问题
与
二次
题型3
拱桥问题
函数
题型4
销售问题
题型5
投球问题
题型6
喷水问题
题型变式
【题型1】图形问题
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）如图，用一段长为 的篱芭围成一个
一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______ ．
【变式1-1】
2．（2021·河南南阳·九年级期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边 的长为 米（要求 ），矩形 的面积
为 平方米．
(1)求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2)要想使花圃的面积最大， 边的长应为多少米？
【题型2】图形运动问题
1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发，
沿 边向点 以1cm/s的速度移动；点 从点 出发，沿 边向点 以2cm/s的速度移动． ， 同时
出发，分别到 ， 后停止移动，则 的最小面积是______ ．
【变式2-1】
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，动点P从A点
出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，同时，动点Q从A点出发，沿AD向点D运动，P，Q两点同时到达点D，
设点P的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象如图2，当△APQ与
△CBE全等时，DP的长为 __________________cm．【题型3】拱桥问题
1．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段
栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则
拱高OC为_____米
【变式3-1】
2．（2022·四川绵阳·三模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面上升1m，水面
宽度减少_____m．【题型4】销售问题
1．（2022·湖北·老河口市教学研究室一模）超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品
每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，
每天销售该商品获利最大．
【变式4-1】
2．（2021·河北保定·九年级期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的
相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
第x天 售价（元/件） 日销售量件
（1）y与x的函数解析式为_______________；
（2）日销售的最大利润为_________元．
【题型5】投球问题
1．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞
行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间
具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 _________s．
【变式5-1】2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然
后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 ，则他距篮筐中心的水平距离 是_________
．
【题型6】喷水问题
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷
头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷
头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高_______________m
时，水柱落点距O点 ．
【变式6-1】
2．（2022·四川成都·模拟预测）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 （单位：米）的一部分，则水喷出
的最大高度是__________米．
专项训练
一．选择题
1．（2021·全国·九年级专题练习）某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100
件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利
润最大？（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
2．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作
流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用
率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：
（ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可
以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，正方形 边长为4， 、 、 、 分别是 、 、 、
上的点，且 ．设 、 两点间的距离为 ，四边形 的面积为 ，则 与
的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·山西·中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也
不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图
象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的
距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 轴建立平面
直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A． B． C． D．5．（2021·全国·九年级专题练习）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩
卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排
球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图
中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点
B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点 ）距球网的水平距离
为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·河北保定·九年级期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按
每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为
每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
第II卷（非选择题）
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二、填空题
7．（2021·四川广安·九年级期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式
为y＝﹣ x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．8．（2021·全国·九年级单元测试）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 处跳起投篮，球
沿条抛物线运动，当球运动的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中
心距离地面的高度为 则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度 为______ ．
9．（2019·全国·九年级课时练习）如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表
达式为______________.
10．（2021·全国·九年级课时练习）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，
2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为______________．11．（2018·四川绵阳·中考真题）某桥梁的桥洞可视为抛物线， ，最高点C距离水面4m，以AB
所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为 ，已知
点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向
右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．
12．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出
份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的
利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1
元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
三、解答题
13．（2018·福建·中考真题）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围
成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．14．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，
经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（ ，且x为整数）构成一种函数关系．
每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单
株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
15．（2021·江苏徐州·二模）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的
房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为4000
元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想
让客人得到实惠．
（1）求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；
（2）应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？
16．（2021·河南·济水第一中学九年级期末）每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文
具盒专柜李经理记录了 天的销售数量和销售单价，其中销售单价 (元/个)与时间第 天( 为整数)的数量关系如图所示，日销量 (个)与时间第 天( 为整数)的函数关系式为:
直接写出 与 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
设日销售额为 (元) ，求 (元)关于 (天)的函数解析式;在这 天中，哪一天销售额 (元)达到最大，
最大销售额是多少元；
由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于 元，文具盒专柜将亏损，直接
写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
17．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行
的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡
上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台
滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点K到起跳台的水平距离为 ，高度为 （h为定值）．
设运动员从起跳点A起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为 ．(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 ，求基准点K的高度h；
②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，并说明
理由．
