文档内容
第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
教学设计
课题 23.1 一次函数的概念 授课人
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
教学目标
2.能利用一次函数的相关知识解决简单的实际问题
教学重点 理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系
教学难点 能利用一次函数的相关知识解决简单的实际问题
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高 1km气温下降 通过回顾
6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是 旧知为学
y℃. 习新知做
好准备.
(1)试用函数解析式表示y与x的关系.
(2)求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温.
解：（1）y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km
时，气温从5 ℃减少6x℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－
6x.
这个函数也可以写为y＝－6x＋5.
（2）当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气
温就是当 x＝2 时函数 y＝－6x＋5 的值，即 y＝－6×2＋5
＝-7(℃).
探究新知 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写 通过问题
出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ 探究和讨
论，帮助
（1）铁的密度约为 7.9g/cm3，铁块的质量 m（单位：g）随它的
学生理解
体积V（单位：cm3）的变化而变化.
一次函数
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 的 概 念 .
h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. 通过观察
和讨论，
（3）一种计算成年人标准体重 m（单位：kg）的方法是：以 cm
帮助学生
为单位量出身高 h ，再减去常数105，所得差是m 的值，m 随 h
发现一次
的变化而变化.
函数的概
（4）把一个长 10 cm、宽 5 cm的长方形的长减少 x cm，宽不 念，并掌
变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化． 握 其 应
用.
解：（1）m=7.9V；
（2）h=0.5n；（3）m=h－105；
（4）y=－5x＋50
上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
(1)m=7.9V; (2)h=0.5n;
(3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50.
上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
小结
一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的函数，叫作
一次函数.
特别地,当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx ，形如 y=kx ( k是常
数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数.
☀注意
一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
1.k ≠ 0；
2.自变量 x 的次数是1；
3.常数项 b 可以是任意实数 .
（链接例1）
思考
一次函数与正比例函数有什么关系？
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比
例函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（链接例2、例3）
典例精析 【例1】下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ 通过例题
和练习帮
x+1
(1)y＝－2x2；(2)y＝ ; (3)y＝3x2－x(3x－2)； 助学生掌
2
握所学知
3 识，培养
(4)x2＋y＝1；(5)y＝− .
x 学生的应
用能力.
【解析】看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数
和正比例函数的定义进行判断．
【解】(1)因为 x 的指数是2，所以 y＝－2x2 不是一次函数．
x+1 1 1 1 1
(2)因为 y＝ ＝ x+ ，k＝ ≠0，b＝ ，
2 2 2 2 2
1
所以y＝ x+ 是一次函数.
2
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它是一次函数，也是正比例函数．
(4)x2＋y＝1，即 y＝1－x2.因为 x 的指数是2，所以x2＋y＝1
不是一次函数．
3 3
(5)因为 y＝− 中 不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，所以它
x x
不是一次函数．
【方法总结】判断函数式是否为一次函数的方法：
先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，
看它是否符合一次函数解析式 y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；
(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数
【例2】已知函数 y=(m－1)x＋1－m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
【解】（1）由题意可得m－1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
（2）由题意可得m－1≠0，1－m2=0，解得m=－1.
即m=－1时，这个函数是正比例函数.
【例3】一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每
挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单
位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
【解】（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的
物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y 关于 x 的函数解析式为
y=2x+12.
（2）把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
随堂检测 1.下列说法正确的是（ D ） 通过设置
随 堂 检
A.一次函数是正比例函数
测，及时
B.正比例函数不是一次函数 获知学生
对所学知
C.不是正比例函数就不是一次函数
识的掌握
D.正比例函数是一次函数 情况，明
确哪些学
2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(
生需要在
A )
课后加强
A．－3 B．3 C．±3 D．±2 辅导，达
到全面提
3.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少 x cm后，得到
高 的 目
的新正方形的周长为 y cm，y与x之间的函数解析式是( A )
的.A．y＝12－4x B．y＝4x－12
C．y＝12－x D．以上都不对
4.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
−8
(1) y＝－8x； (2)y＝ ；
x
(3) y＝5x2＋6； (4)y＝－0.5x－1.
解：(1)，(4)是一次函数；(1)是正比例函数．
5.如果长方形的周长是 30 cm，长是 x cm，宽是 y cm.
(1)写出 y 与 x 之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的 2 倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15－x，是一次函数.
(2)由题意可得x=2(15－x).解得x=10，所以y=15－x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
课堂小结 巩固所学
知识，加
深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 23.1 一次函数的概念
例题解析
教学反思
